Chủ đề này có 2 trả lời

[DOTOANNANG]

Cho bất đẳng thức dao lam sau$:$

$$(\,xy^{\,2}+ yz^{\,2}+ zx^{\,2}+ xyz\,)(\,x+ y+ z\,)^{\,2}- 4(\,xy+ yz+ zx\,)(\,xy^{\,2}+ yz^{\,2}+ zx^{\,2}\,)\geqq 0$$

với $x,\,y,\,z\geqq 0$$.$

Có thể viết lại vế trái thành$:$

$$z(\,x+ y- z\,)^{\,2}(\,x- y\,)^{\,2}+ y(\,x- z\,)(\,y- z\,)(\,z+ x- y\,)^{\,2}\geqq 0$$

đúng với$:$ $z\not\equiv \text{mid}\{\,x,\,y,\,z\,\}$$($lưỡi lam trái$)$$.$

Viết lại bất đẳng thức trên dưới dạng lưỡi lam phải$.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 13-04-2019 - 17:13

[DOTOANNANG]

Điều kiện tương tự$,$ ta có bất đẳng thức$:$

$$\sum\,x(\,1+ xy- y\,)(\,yz- z+ 1\,)- 3\,xyz\geqq 0$$

Có thể viết lại vế trái thành$:$

$$y(\,1- zx\,)^{\,2}+ (\,y- 1\,)^{\,2}[\,z(\,1- x\,)^{\,2}+ x(\,1- z\,)^{\,2}+ 2\,zx\,]+ x(\,x- y\,)(\,y- z\,)\geqq 0$$

đúng với$:$ $y\equiv \text{mid}\{\,x,\,y,\,z\,\}$$($lưỡi lam phải$)$$.$

Viết lại bất đẳng thức trên dưới dạng lưỡi lam trái$.$

[DOTOANNANG]

C h o  $\it{3}$  s ố  k h ô n g  â m  $a,\,b,\,c$

$$\begin{equation}\begin{split} \left ( \frac{19\,a+ 11\,b+ 11\,c}{7} \right )^{\,2}\geqq 27\,bc+ 11\,ca+ 11\,ab \end{split}\end{equation}$$

$<$$=$$>$

$$\begin{equation}\begin{split} \left ( \frac{19}{11}\,b- \frac{19}{11}\,c \right )^{\,2}+ (\,a- b\,)(\,a- c\,)\geqq 0 \end{split}\end{equation}$$

$<$$=$$>$

$$\begin{equation}\begin{split} \left ( \frac{38\,a- 19\,b- 19\,c}{7} \right )^{\,2}- 27(\,a- b\,)(\,a- c\,)\geqq 0 \end{split}\end{equation}$$