Chứng minh với $x,\,y,\,z\geqq 0$ thì$:$
$$4(\,x+ y+ z\,)^{\,3}- 27(\,xy^{\,2}+ yz^{\,2}+ zx^{\,2}+ xyz\,)\geqq 0$$
nhiều cách$.$
$$leftside= (\,x+ 4\,z\,)(\,y+ z- 2\,x\,)^{\,2}+ 4\,y(\,y- z\,)^{\,2}- 11\,y(\,x- y\,)(\,x- z\,)\geqq 0$$
với $x\equiv \text{mid}\{\,x,\,y,\,z\,\}$$.$
