Chủ đề này có 2 trả lời

[Sin99]

Giải hệ phương trình sau: 

$\begin{cases} & x + \frac{2xy}{\sqrt[3]{x^{2} -2x +9}}= x^{2}+y \\ & y + \frac{2xy}{\sqrt[3]{y^{2} -2y +9}}= y^{2}+x \end{cases}$

 

[stphung1915]

$Đặt   a=\sqrt[3]{y^{2}-2y+9}   b=\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}$

Lấy pt trên trừ pt dưới được $2xy\left ( \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}}-\frac{1}{\sqrt[3]{y^{2}-2y+9}} \right )=x^{2}-y^{2}+2y-2x$

mà a³-b³=x²-y²+2y-2x nên $2xy\left ( \frac{b-a}{ab} \right )=a^{3}-b^{3}$

chuyển vế được $a=b\Rightarrow x^{2}-y^{2}+2y-2x=0$

Cộng hai pt với nhau được $2xy(\frac{b+a}{ab})=x^{^{2}}+y^{2}$ mà a,b dương, x²+y² ko âm nên 2xy không âm.

$\Rightarrow \frac{2xy}{a+b}+a^{2}+b^{2}+ab$ khác 0.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi stphung1915: 18-04-2019 - 22:06

[Love is color primrose]

Cộng vế theo vế 2 phương trình ta có;$x^{2}+y^{2}=2xy(\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}-2x+9}}+\frac{1}{\sqrt[3]{y^{2}-2y+9}})\leq 2xy(\frac{1}{\sqrt[3]{8}}+\frac{1}{\sqrt[3]{8}})=2xy$

Mà:$x^{2}+y^{2}\geq 2xy$

Nên dấu = xảy ra khi x=y=1