Đến nội dung

Hình ảnh

Cho a,b,c là các số thực không âm bất kì


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
phongmaths

phongmaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Cho a,b,c là các số thực không âm bất kì.CMR 

$2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+abc+8\geq 5(a+b+c)$



#2
tritanngo99

tritanngo99

    Đại úy

  • Điều hành viên THPT
  • 1644 Bài viết

Cho a,b,c là các số thực không âm bất kì.CMR 

$2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+abc+8\geq 5(a+b+c)$

Theo nguyên lý Dirichlet, trong ba số $1-a,1-b,1-c$ luôn tồn tại hai số cùng dấu, không mất tính tổng quát, giả sử hai số đó là $1-a,1-b$.

Khi đó ta có: $(1-a)(1-b)\ge 0\iff ab\ge a+b-1\iff abc\ge ac+bc-c$ và chúng ta cần chứng minh rằng:

$2c^2+(a+b-6)c+2a^2+2b^2-5a-5b+8\ge 0$.

 Đặt $a+b=2x$.

Ta có bất đẳng thức quen thuộc sau: $2(a^2+b^2)\ge (a+b)^2$

Điều này dẫn đến ta cần đi chứng minh: $c^2+c(x-3)+2x^2-5x+4\ge 0(*)$.

Thật vậy, xét $\Delta_{c}=(x-3)^2-4(2x^2-5x+4)=-7(x-1)^2\le 0$

nên từ đây ta suy ra được biểu thức $(*)$ luôn đúng.

Vậy ta có điều phải chứng minh. Dấu $=$ xảy ra tại $a=b=c=1$.



#3
DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Đại úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 1609 Bài viết

Đặt $a+ b+ c= 3\,u,\,ab+ bc+ ca= 3\,v^{\,2},\,abc= w^{\,3}$$.$ Bậc cao nhất là $w^{\,3}$ và vế trái cũng là hàm bậc nhất theo chính nó$.$

Sử dụng phương pháp $\lceil$ uvw $\rfloor$ xét$:$

$\it{1}$$.$ $w^{\,3}= 0$

$c= 0$ $<$$=$$>$ $\frac{1}{8}(\,4\,a- 5\,)^{\,2}+ \frac{1}{8}(\,4\,b- 5\,)^{\,2}+ \frac{7}{4}\geqq 0$

 

$\it{2}$$.$ $c= b$

$<$$=$$>$ $2\,a^{\,2}+ ab^{\,2}- 5\,a+ 4\,b^{\,2}- 10\,b+ 8\geqq 0$

$<$$=$$>$ $\frac{1}{8}(\,4\,a+ b^{\,2}- 5\,)^{\,2}- \frac{1}{8}(\,b- 1\,)^{\,2}(\,b^{\,2}+ 2\,b- 39\,)\geqq 0$

$<$$=$$>$ $\frac{1}{2}(\,2\,a- b+ 17\,)^{\,2}+ \left ( \frac{7}{2}+ a \right )(\,b^{\,2}+ 2\,b- 39\,)\geqq 0$

$\{$Bất đẳng thức dao lam$.$$\}$

 






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh