Dạo nãy bỗng dưng mình thấy nhớ cái thời học toán nên muốn viết một cái gì đó chia sẻ với các bạn đang học toán. Trước đây mình từng viết một bài chia sẻ rồi và bài này mình muốn chia sẻ ở một góc nhìn khác.
Thời cấp 2 thì mình dành thời gian cho toán khá là nhiều, trung bình 5-7 tiếng một ngày để học toán. Lúc đấy thì nhà không có máy tính, không có mạng và chỉ có mỗi 2 cuốn sách của Vũ Hữu Bình làm bạn thôi. Kể ra đó cũng là một điều may mắn, khi mà không có quá nhiều tài liệu thì sẽ phải tự mày mò, tự đặt ra toán để mà làm và nó hình thành cách tư duy của cá nhân mình. Một điều may mắn nữa là không lên mạng thì không biết đến những kì thi như VMO, IMO hay là sự tồn tại của nhiều ngôi sao trên diễn đàn, vì thế không phải cày cuốc những thứ trâu bò để bằng bạn bằng bè. Đối với mình việc làm toán chỉ đơn giản là vì niềm vui và mãi đến sau này nó vẫn vậy. Mục tiêu của việc học toán thì không hẳn làm được càng nhiều bài càng tốt, mình chỉ làm những bài nào mình thấy thích và với một cách giải mình thấy thích thôi ). Phải thừa nhận 1 điều là kiến thức toán của mình không nhiều, nếu ai để ý sẽ thấy những lời giải mình post gần như chẳng bao giờ dùng định lí hay bổ đề từ bên ngoài vào vì mình không biết nhiều những thứ đấy. Làm một bài toán cũng không nhất thiết phải làm ra, cảm giác mày mò thấy vui là đủ rồi. Có một sự thật là mình chưa từng post một lời giải bài hình nào trên diễn đàn và mình bỏ gần như tất cả các bài hình trong các kì thi mình tham dự, đơn giản vì không thích học hình. Kể linh tinh về bản thân mình đủ rồi, bây giờ chúng ta vào vấn đề chính.
Chúng ta đều biết so với thế giới thì người VN học toán khá là giỏi. Tuy nhiên mình nhận thấy là cách tư duy của chúng ta dễ dàng thừa nhận kiến thức để dùng nó như một phương tiện giải toán thay vì thực sự hiểu nguồn gốc và bản chất của mọi thứ. Ví dụ nhiều bạn tính đạo hàm, tích phân rất giỏi, nhưng thực sự có bao nhiêu bạn thời cấp 3 hiểu được ý nghĩa đạo hàm, tích phân là gì và nó sinh ra như thế nào? Tại sao lại đặt tên là đạo hàm và tích phân? Hay lúc cấp 2 được học đồ thị của hàm bậc 2 là Parabol. Vậy các bạn có đặt ra câu hỏi parabol là hình gì và tại sao lại là Parabol? Có rất là nhiều những thứ khác mà chúng ta chẳng bao giờ hỏi tại sao. Và giải quyết những câu hỏi tại sao đó chắc chắn nó chả giúp mấy cho các bạn trong các kì thi đâu, nhưng nó sẽ làm bạn thấy vui và làm bạn nhìn việc làm toán bằng một cách khác. Chúng ta sẽ quay lại với những câu hỏi ở một trong những phần kế tiếp của bài viết này.
Có một sự thật là những kĩ thuật mà chúng ta dùng giải toán đa phần đều là bắt chước hoặc là kết hợp một cách tài tình những kĩ thuật mà mình đã được biết. Cũng có những lúc chúng ta tự sáng tạo ra những kĩ thuật mới nhưng điều đó đòi hỏi kinh nghiệm và kiến thức rất nhiều. Khi học vào một mảng mới thì các bạn cần phải nắm vững các kiến thức cơ bản và biết vận dụng chứng minh được các tính chất cơ bản từ những kiến thức đó. Để làm được những bài toán trong một mảng mới, thường chúng ta phải bắt đầu với việc... đọc lời giải. Cái việc đọc lời giải nó cũng không phải là một chuyện dễ dàng, vì không chỉ đơn thuần hiểu các bước lời giải đưa ra để thấy nó đúng, mà hơn thế cần hiểu tại sao lại đưa đến một ý tưởng như thế? Lời giải này có điểm gì hay? Nó có ưu điểm, khuyết điểm gì? Nếu ta thay đổi bài toán một chút thì có dùng được nữa không? Giải quyết những câu hỏi như thế sẽ làm các bạn hiểu vấn đề hơn. Thử lấy một ví dụ đơn giản.
Đặt $S_1(n) = 1+2+3+..+n$. Chứng minh $S_1(n) = \frac{n(n+1)}{2}$
Lời giải 1: Ta chứng minh quy nạp, giả sử bài toán đúng với $n$ thì $S_1(n+1) = S_1(n)+n+1 = \frac{n(n+1)}{2} + n+1 = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$. Vậy bài toán cũng đúng với $n+1$.
(Một lời giải hoàn chỉnh cần tuân thủ đúng các bước quy nạp nhưng mình chỉ viết ngắn gọn để nắm được ý chính)
Lời giải này khá là đơn giản và dễ hiểu. Tuy nhiên chúng ta chả thấy một chút bản chất vấn đề nào cả, nếu người ta không cho giá trị của vế phải biểu thức thì làm sao chúng ta lấy ra kết quả mà quy nạp? Đó là một điểm mà mình không thích lắm ở phương pháp quy nạp. Đôi khi chúng ta không thực sự hiểu rõ cách vận hành của bài toán khi dùng quy nạp.
Lời giải 2: Chúng ta đến với một lời giải hợp lí hơn 1 chút để lấy ra kết quả. Ta bắt cặp các số có tổng là $n+1$ khi đó sẽ tạo được $\frac{n}{2}$ cặp (cần biện luận rõ hơn chút về tính chẵn lẻ của $n$). Suy ra $S_1(n) = \frac{n(n+1)}{2}$
Lời giải này rõ ràng chỉ cho chúng ta thấy cách tìm ra công thức ở vế phải phần chứng minh và khá là ngắn gọn. Tuy nhiên nhược điểm của nó là chỉ dùng được khi mà đây là tổng của một cấp số cộng. Nếu như cần tính tổng của $1^2+2^2+...+n^2$ thì làm thế nào?
Lời giải 3: Ta có:
$$ (n+1)^2 - n^2 = 2n+1$$
$$ n^2 - (n-1)^2 = 2(n-1)+1$$
$$...$$
$$2^2 - 1 = 2.1+1$$
Cộng theo vế lại thì ta có $(n+1)^2 -1 = 2S_1(n)+n \Rightarrow S_1(n) = \frac{n(n+1)}{2}$
Một cách chân thành thì lời giải thứ 3 này có vẻ xấu xí và dài dòng nhất. Nhưng nó lại là chìa khóa để có thể tính $S_2(n) = 1^2+2^2+...+n^2$ hay là $S_3(n) = 1^3+2^3+...+n^3$.
Vì vậy không hẳn một lời giải ngắn gọn đẹp mắt đã là tối ưu. Việc mở rộng bài toán có thể đưa đến cho chúng ta những ý tưởng mới mẻ hơn vì thế đừng nên hài lòng rằng lời giải đã chứng minh được cái mà ta cần chứng minh. Khi đọc một lời giải cần hiểu rõ ý nghĩa và tác dụng của nó như thế nào. Vì thế khi trình bày một lời giải trên diễn đàn cho người khác cũng nên chỉ cho họ thấy cách mà bạn đi đến lời giải hơn là chỉ việc chỉ ra quy nạp như lời giải đầu tiên.
Chúng ta quay lại với việc đặt câu hỏi. Đây là một kĩ năng rất quan trọng. Đa số trong chúng ta chỉ chú tâm đến việc giải toán hơn là đặt ra đề toán. Việc giải toán nó đơn thuần nằm ở kĩ năng, đôi khi một người giải toán tốt chỉ vì người đó có kĩ năng đặt ra những câu hỏi tốt. Có một sự thật là học sinh chúng ta giải rất nhiều bài IMO, nhưng gần như là không có đề thi IMO nào có đề bài do người VN đề xuất cả. Việc đặt ra những vấn đề đòi hỏi tầm nhìn và đôi khi đặt ra một đề toán hay nó còn khó hơn cả giải quyết vấn đề nữa. Hãy cùng xem xét một vấn đề đơn giản như hàm bậc 2 và parabol, thử xem là ta có thể đặt ra những câu hỏi gì?
Đầu tiên ta sẽ tự hỏi parabol là hình gì? Tính chất nó như thế nào? Khi đó ta sẽ suy ra tính chất của hàm bậc 2 dựa theo tính chất Parabbol! Đôi lúc mình còn tự hỏi là người ta định nghĩa Parabol từ trước rồi như hình tròn, hình vuông, hình chữ nhật và rồi họ nhận ra hàm bậc 2 có dạng hình Parabol hay là cái hình thể hiện hàm bậc 2 được người ta đặt tên là parabol? Cần bao nhiêu điểm thì dựng được 1 parabol? Để xác định 1 hàm bậc 2 ta cần 3 tham số, vậy cần 3 phương trình để tìm ra 3 tham số, do đó khả năng là cần ít nhất 3 điểm để dựng được Parabol hoặc là biết điểm đáy Parabol và một điểm khác đáy thì sẽ dựng được! Ta thấy hình Parabol luôn đối xứng qua 1 trục, đồ thị của hàm bậc 2 thì trục đối xứng luôn thẳng đứng, vậy với 1 Parabol mà trục bất kì ko nhất thiết thẳng đứng thì cần ít nhất mấy điểm mới xác định được Parabol? Nhớ lại thầy cô khi vẽ parabol thường lấy 1 điểm đáy và 2 điểm đối xứng nhau thuộc đồ thị rồi vẽ 2 đường cong đối xứng tạo thành Parabol. Nhưng vấn đề là đường cong đó dựng như thế nào? Cong như thế nào mới chuẩn )? Chúng ta thường vẽ rất cảm tính, thử tìm hiểu xem cơ sở để vẽ đường cong đó là như thế nào?
Thường khi nhắc đến 1 khái niệm mình thường nghĩ đến ví dụ điển hình của khái niệm đó. Ví dụ tập hợp $n$ phần tử thì thường nghĩ đến tập từ $1$ đến $n$. Tư duy trên những thứ cụ thể vẫn dễ hơn. Khi nhắc đến hàm bậc 2 mình thường nghĩ đến $x^2$ và khi nhắc đến hàm chẵn thì mình cũng nghĩ đến $x^2$. Nó đem lại 1 sự liên hệ nào đó và mình nhận ra bản chất của hàm chẵn là hàm số có đồ thị đói xứng qua trục $Oy$ và hàm lẻ thì là hàm số có đồ thị đối xứng qua tâm $O$. Parabol luôn có một trục thẳng đứng phải không? Vậy có nghĩa hàm bậc 2 được xem như là "chẵn" với một trục nào đó. $x^3$ là một hàm lẻ, vậy liệu với mọi hàm bậc 3 thì ta có luôn tìm được một tâm đối xứng cho đồ thị hàm đó hay không? Hàm bậc 4 thì sao?
Đấy cứ liên tục đặt câu hỏi như thế thì chắc chắn chẳng thiếu toán để làm rồi! Đôi khi chỉ từ 1 bài toán đơn giản bạn có thể mở rộng ra rất nhiều lí thuyết thú vị. Để đặt được câu hỏi, đôi lúc cần tầm nhìn ở vấn đề, tư duy nhận xét và rõ ràng là nó không đơn giản tí nào cả. Thay vì tạo ra 1 bài toán bằng cách kết hợp nhiều phương pháp, kĩ thuật rồi thêm bớt cho nó ra một vẻ ngoài ưa nhìn, đi từ lời giải ra đề bài. Bạn có thể chọn một bài toán mình thích, phát triển các yếu tố trong vấn đề và đặt ra một giả thuyết đẹp rồi cố gắng chứng minh nó. Cách đó tuyệt vời hơn rất nhiều!
Cuối cùng mình sẽ đề cập đến vấn đề liên tưởng trong việc học toán. Đôi lúc chúng ta có thể nhìn vấn đề này bằng một cách khác hoặc bằng những thứ khác giúp chúng ta dễ hình dung hơn và dễ xử lí hơn rất nhiều. Những ví dụ có thể các bạn đã biết đến như là việc biểu diễn một tập con của tập gồm $n$ phần tử bằng một xâu nhị phân độ dài $n$ hay việc giải phương trình Pell bằng cái nhìn của số phức.
Ngày trước khi vừa vào lớp 10 phải làm quen với những khái niệm về tập hợp, thực sự là khá mơ hồ và mình thử liên tưởng quan hệ giữa hai tập hợp giống như quan hệ chia hết giữa hai số (cứ thử hình dung ta chỉ xét những số có khai triển thừa số nguyên tố đều có lũy thừa cao nhất là 1 tức những số không có ước dạng $p^2$) bạn sẽ thấy có gì đó tương đồng. Khi đó phép hợp và giao của 2 tập hợp nó giống như phép lấy UCLN và BCNN giữa 2 số vậy. Ở một khía cạnh nào đó bạn sẽ thấy có mối tương đồng giữa 2 phép toán này:
$$ a.b = UCLN(a,b).BCNN(a,b)$$
$$ |A| + |B| = |A \cap B| + |A \cup B|$$
Một ví dụ khác $a$ chia hết cho $b$, $b$ chia hết cho $c$ thì $a$ chia hết cho $c$. Ta có thể thấy tương ứng bên tập hợp là $A$ chứa $B$, $B$ chứa $C$ thì $A$ chứa $C$.
Từ đó có thể từ tính chất của phép chia hết suy ra những tính chất của tập hợp (chiều ngược lại thì chưa chắc nhé!).
Trên đây mình đã đề cập 3 vấn đề chính là hiểu bản chất lời giải, phát triển vấn đề bằng cách đặt câu hỏi và nhìn nhận vấn đề bằng sự liên tưởng. Mình cũng đã lựa chọn đưa ra những vấn đề đơn giản để làm ví dụ cho các bạn dễ hiểu. Hi vọng là các bạn tìm thấy một chút gì đó thú vị hay là một chút cảm hứng gì đó từ bài chia sẻ này.
Qua đây mình cũng muốn chia sẻ thêm một chút với các bạn về tư tưởng khi các bạn tiếp cận với toán. Theo quan điểm cá nhân của bản thân mình thì tư duy sáng tạo nằm ở khả năng suy nghĩ critique, còn tư duy logic thì nằm ở kĩ năng nhiều hơn. Ở nước ta, việc thi cử và thành tích luôn được chú trọng, có quá nhiều những nơi luyện thi hay những tài liệu để rèn kỹ năng giải toán cho các bạn, nhưng không nhiều nơi dạy cho bạn cách tư duy phản biện. Đôi lúc cách tư duy phản biện của chúng ta có hình thành và tiến bộ nhưng có lẽ nó hơi vô thức. Các bạn cần ý thức để cải thiện việc này một cách chủ động. Đó là lí do vì sao mình luôn nhấn mạnh việc cần phải đặt những câu hỏi vì sao và cần phải hiểu những điều cốt lõi của vấn đề. Cách tư duy này không chỉ giúp cho các bạn mỗi việc làm toán, nó là nền tảng để các bạn có thể tư duy mọi vấn đề trong tương lai. Nên nhớ việc bạn giải thật nhiều bài toán hơn so với phần còn lại, không quan trọng bằng việc bạn tư duy khác biệt so với phần còn lại.
Với cá nhân mình nghĩ thì điều quan trọng nhất đó là các bạn phải tìm thấy được niềm vui khi học toán và học toán chỉ để vui chứ chẳng vì cái gì cả. Khi mình bước vào cấp 3 thì đó là điều mà mình không thể làm được nữa và rồi mình phải từ bỏ toán. Bởi vì ở môi trường ở Việt Nam, chúng ta quá bị áp lực bởi thành tích, nhưng chung quy đó không phải là thứ quan trọng nhất. Mình khuyên các bạn trẻ hơn đang tuổi học toán trên ghế nhà trường, các bạn nên xem việc học toán chỉ đơn giản như là niềm vui, niềm đam mê của bản thân thôi, đó không nên là thứ để ganh đua thành tích. Việc chia sẻ những gì bản thân bạn biết với người khác cũng là một thứ cần thiết. Không chỉ toán mà trong bất kì một lĩnh vực nào, các bạn nên tìm cho mình 3 người. Người thứ nhất giỏi hơn bạn, để bạn học hỏi từ họ mà tiến bộ, người thứ 2 cùng đẳng cấp với bạn để mà bạn cùng rèn luyện hỗ trợ nhau để tiến bộ và người người thứ 3 không giỏi bằng bạn, để bạn giúp đỡ chỉ bảo giải thích cho họ, bạn chưa thực sự hiểu rõ vấn đề nếu bạn chưa thể giải thích sao cho người khác hiểu, đó cũng là cách để bạn hiểu rõ hơn những thứ mà bạn đã biết và nó cũng sẽ giúp bạn tiến bộ.
Chúc các bạn có những thành công và luôn tìm được niềm vui với môn Toán và nếu có thể các bạn nên viết chia sẻ cách các bạn học toán với mọi người bởi nếu các bạn chưa thể giải thích cho người khác bạn học như thế nào thì hẳn là bạn vẫn chưa hiểu rõ cách mà bản thân mình học toán hehe.
Nhưng em ngược anh ở chỗ là chỉ thích hình học. Em thích cái cảm giác cho chạy chạy các điểm trên hình vẽ bằng SketchPad rồi tìm ra những tính chất thú vị, vẽ các đường thẳng nối dài hết cỡ để xem có chi hay. Làm hình lâu nên em có một kiểu nhìn và mường tượng toàn bằng hình ảnh / hình học / sơ đồ, bất kể vấn đề gì. Tiếc là sau này không còn ngâm cứu toán hình nhiều nữa 
cơ mà cái cách tư duy thì vẫn còn đó, và em thấy nó rất hữu ích để áp dụng vô nhiều lĩnh vực khác.
