Chủ đề này có 1 trả lời

[trinhhoai23]

Xếp 42 con thỏ và ba cái lồng sao cho không có lồng nào rỗng. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách xếp?

[dottoantap]

Xếp 42 con thỏ và ba cái lồng sao cho không có lồng nào rỗng. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách xếp?

Xét bài toán tổng quát:

Có bao nhiêu cách xếp $n$ con thỏ vào $m$ cái lồng sao cho không có lồng nào rỗng.

Gọi $S$ là tập các cách xếp  $n$ thỏ vào $m$ lồng phân biệt (có thể có lồng không có thỏ) thì $\left | S \right |=m^{n}$

Gọi $A_{i}$ là tập các cách xếp lồng $i$ không có thỏ thì :

$\left | A_{i} \right |=C_{m}^{1}\left ( m-1 \right )^{n}$

$\left | A_{i}\cap A_{j}\right |=C_{m}^{2}\left ( m-2 \right )^{n}$

........................

$\rightarrow $Số cách xếp $n$ thỏ vào $m$ lồng phân biệt và không có lồng nào rỗng:

$N=\left | \overline{A_{1}}\cap \overline{A_{2}}\cap ...\cap\overline{A_{m}} \right |=\left | S \right |-C_{m}^{1}\left ( m-1 \right )^{n}+C_{m}^{2}\left ( m-2 \right )^{n}+...+\left ( -1 \right )^{m}C_{m}^{m}\left ( m-m \right )^{n}=\sum_{k=0}^{m}\left ( -1 \right )^{k}C_{m}^{k}\left ( m-k \right )^{n}$

Áp dụng vào bài toán và do các lồng không phân biệt nên số cách xếp thỏa đề bài là:

$N=\frac{1}{3!}\sum_{k=0}^{3}\left ( -1 \right )^{k}C_{3}^{k}\left ( 3-k \right )^{42}=\frac{1}{3!}\left ( 3^{42}-3.2^{42}+3 \right )=\frac{3^{41}-2^{42}+1}{2}\text { cách}$