Chủ đề này có 4 trả lời

[nguyen minh hieu hp]

Cho 3 số thực dương dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=3

Cmr:$\sum \frac{x^{3}}{y^{2}+z^{2}}\geq \frac{3}{2}$

 

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyen minh hieu hp: 18-04-2019 - 22:02

[nguyen minh hieu hp]

Đặt A=$\sum \frac{x^{3}}{y^{2}+z^{2}}$

=>4A=$\sum \frac{4x^{3}}{y^{2}+z^{2}}$

=>4A+3=$\sum (\frac{4x^{3}}{y^{2}+z^{2}} + \frac{x^{3}}{x^{2}})$

=>4A+3=$\sum (x^{3}.(\frac{4}{^{y^{2}}+z^{2}}+\frac{1}{x^{2}}))\geq \sum x^{3}.\frac{(2+1)^{2}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\sum x^{3}.\frac{9}{\sum x^{2}}\geq \sum (x^{3}.\frac{9}{\sum x^{3}})=9$

=>4A$\geq 6$

=>A$\geq \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyen minh hieu hp: 20-04-2019 - 21:45

[Leminhtri2003]

Chỗ đấy sang "a" là Holder cho 3 số 2 lần ạ ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leminhtri2003: 20-04-2019 - 14:51

[nguyen minh hieu hp]

Cái bước đánh giá đầu là Bunhiacopxki dạng phân thức cho $\frac{4}{y^{2}+z^{2}}$ và $\frac{1}{x^{2}}$

Lúc đầu mình viết nhầm biến.Sorry nha sửa lại rồi đó

[KietLW9]

Lời giải. Ta có: 

 

$\frac{x^3}{x^2+y^2}-\frac{2x-y}{2}=\frac{y(x-y)^2}{2(x^2+y^2)}\geqslant 0$

Tương tự rồi cộng lại, ta có: 

$\frac{x^{3}}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y^{3}}{z^{2}+x^{2}}+\frac{z^{3}}{x^{2}+y^{2}}\geqslant \frac{x+y+z}{2}=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 14-05-2021 - 09:23