Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\frac{2}{x^{2}+yz}+\frac{2}{y^{2}+xz}+\frac{2}{z^{2}+xy}\leq \frac{x+y+z}{xyz}$

bất đẳng thức cực trị đại số

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Vu Tien Thanh

Vu Tien Thanh

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-04-2019 - 17:12

Cho x; y; z là 3 số thực dương.

Chứng minh: $\frac{2}{x^{2}+yz}+\frac{2}{y^{2}+xz}+\frac{2}{z^{2}+xy}\leq \frac{x+y+z}{xyz}$



#2 MrDat

MrDat

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 16 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hành tinh song song

Đã gửi 22-04-2019 - 23:42

BDT $\Leftrightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq \frac{2}{x^{2}+yz}+\frac{2}{y^{2}+zx}+\frac{2}{z^{2}+xy}$   (3)

     Có $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}\geq \frac{2}{y\sqrt{xz}}$   (cosi)

          $\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq \frac{2}{z\sqrt{yx}}$    (cosi)

          $\frac{1}{zx}+\frac{1}{xy}\geq \frac{2}{x\sqrt{zy}}$    (cosi)

       $\Rightarrow 2(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx})\geq 2(\frac{1}{x\sqrt{yz}}+\frac{1}{y\sqrt{zx}}+\frac{1}{z\sqrt{xy}})$

      $\Rightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq \frac{1}{x\sqrt{yz}}+\frac{1}{y\sqrt{zx}}+\frac{1}{z\sqrt{xy}}$    (1)

     Lại có $x^{2}+yz\geq 2x\sqrt{yz} \Rightarrow \frac{2}{x^{2}+yz}\leq \frac{2}{2x\sqrt{yz}}\doteq \frac{1}{x\sqrt{yz}}$

    CMTT $\frac{2}{y^{2}+zx}\leq \frac{1}{y\sqrt{xz}}$

               $\frac{2}{z^{2}+xy}\leq \frac{1}{z\sqrt{yx}}$

           Cộng vế $\Rightarrow \frac{1}{x\sqrt{yz}}+\frac{1}{y\sqrt{zx}}+\frac{1}{z\sqrt{xy}}\geq \frac{2}{x^{2}+yz}+\frac{2}{y^{2}+zx}+\frac{2}{z^{2}+xy}$     (2)

      Từ (1) và (2) suy ra (3) (dpcm)

      Dấu bằng xảy ra khi x=y=z 

   P/s: cho mình hỏi đây là bài lớp mấy


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MrDat: 22-04-2019 - 23:45


#3 Sin99

Sin99

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 148 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:Phương trình, Mr Siro's list, ~ PUBG ~

Đã gửi 23-04-2019 - 00:47

Đây chắc là bài dành cho ai mới tiếp cận BDT, có thể là lop 8 chuyên bạn ạ :D 


"Kẻ bi quan luôn nhìn thấy sự khó khăn trong mỗi cơ hội; người lạc quan luôn nhìn thấy các cơ hội trong mọi khó khăn."

                                                               Nicholas Murray ~


#4 Vu Tien Thanh

Vu Tien Thanh

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 23-04-2019 - 18:56

BDT $\Leftrightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq \frac{2}{x^{2}+yz}+\frac{2}{y^{2}+zx}+\frac{2}{z^{2}+xy}$   (3)

     Có $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}\geq \frac{2}{y\sqrt{xz}}$   (cosi)

          $\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq \frac{2}{z\sqrt{yx}}$    (cosi)

          $\frac{1}{zx}+\frac{1}{xy}\geq \frac{2}{x\sqrt{zy}}$    (cosi)

       $\Rightarrow 2(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx})\geq 2(\frac{1}{x\sqrt{yz}}+\frac{1}{y\sqrt{zx}}+\frac{1}{z\sqrt{xy}})$

      $\Rightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq \frac{1}{x\sqrt{yz}}+\frac{1}{y\sqrt{zx}}+\frac{1}{z\sqrt{xy}}$    (1)

     Lại có $x^{2}+yz\geq 2x\sqrt{yz} \Rightarrow \frac{2}{x^{2}+yz}\leq \frac{2}{2x\sqrt{yz}}\doteq \frac{1}{x\sqrt{yz}}$

    CMTT $\frac{2}{y^{2}+zx}\leq \frac{1}{y\sqrt{xz}}$

               $\frac{2}{z^{2}+xy}\leq \frac{1}{z\sqrt{yx}}$

           Cộng vế $\Rightarrow \frac{1}{x\sqrt{yz}}+\frac{1}{y\sqrt{zx}}+\frac{1}{z\sqrt{xy}}\geq \frac{2}{x^{2}+yz}+\frac{2}{y^{2}+zx}+\frac{2}{z^{2}+xy}$     (2)

      Từ (1) và (2) suy ra (3) (dpcm)

      Dấu bằng xảy ra khi x=y=z 

   P/s: cho mình hỏi đây là bài lớp mấy

Dạ là một bài trong đề ôn tập lớp 9 mình đi xin ạ.







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức, cực trị đại số

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh