Chủ đề này có 3 trả lời

[Vu Tien Thanh]

Cho x; y; z là 3 số thực dương.

Chứng minh: $\frac{2}{x^{2}+yz}+\frac{2}{y^{2}+xz}+\frac{2}{z^{2}+xy}\leq \frac{x+y+z}{xyz}$

[MrDat]

BDT $\Leftrightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq \frac{2}{x^{2}+yz}+\frac{2}{y^{2}+zx}+\frac{2}{z^{2}+xy}$   (3)

     Có $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}\geq \frac{2}{y\sqrt{xz}}$   (cosi)

          $\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq \frac{2}{z\sqrt{yx}}$    (cosi)

          $\frac{1}{zx}+\frac{1}{xy}\geq \frac{2}{x\sqrt{zy}}$    (cosi)

       $\Rightarrow 2(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx})\geq 2(\frac{1}{x\sqrt{yz}}+\frac{1}{y\sqrt{zx}}+\frac{1}{z\sqrt{xy}})$

      $\Rightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq \frac{1}{x\sqrt{yz}}+\frac{1}{y\sqrt{zx}}+\frac{1}{z\sqrt{xy}}$    (1)

     Lại có $x^{2}+yz\geq 2x\sqrt{yz} \Rightarrow \frac{2}{x^{2}+yz}\leq \frac{2}{2x\sqrt{yz}}\doteq \frac{1}{x\sqrt{yz}}$

    CMTT $\frac{2}{y^{2}+zx}\leq \frac{1}{y\sqrt{xz}}$

               $\frac{2}{z^{2}+xy}\leq \frac{1}{z\sqrt{yx}}$

           Cộng vế $\Rightarrow \frac{1}{x\sqrt{yz}}+\frac{1}{y\sqrt{zx}}+\frac{1}{z\sqrt{xy}}\geq \frac{2}{x^{2}+yz}+\frac{2}{y^{2}+zx}+\frac{2}{z^{2}+xy}$     (2)

      Từ (1) và (2) suy ra (3) (dpcm)

      Dấu bằng xảy ra khi x=y=z 

   P/s: cho mình hỏi đây là bài lớp mấy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MrDat: 22-04-2019 - 23:45

[Sin99]

Đây chắc là bài dành cho ai mới tiếp cận BDT, có thể là lop 8 chuyên bạn ạ  

[Vu Tien Thanh]

BDT $\Leftrightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq \frac{2}{x^{2}+yz}+\frac{2}{y^{2}+zx}+\frac{2}{z^{2}+xy}$   (3)

     Có $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}\geq \frac{2}{y\sqrt{xz}}$   (cosi)

          $\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq \frac{2}{z\sqrt{yx}}$    (cosi)

          $\frac{1}{zx}+\frac{1}{xy}\geq \frac{2}{x\sqrt{zy}}$    (cosi)

       $\Rightarrow 2(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx})\geq 2(\frac{1}{x\sqrt{yz}}+\frac{1}{y\sqrt{zx}}+\frac{1}{z\sqrt{xy}})$

      $\Rightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\geq \frac{1}{x\sqrt{yz}}+\frac{1}{y\sqrt{zx}}+\frac{1}{z\sqrt{xy}}$    (1)

     Lại có $x^{2}+yz\geq 2x\sqrt{yz} \Rightarrow \frac{2}{x^{2}+yz}\leq \frac{2}{2x\sqrt{yz}}\doteq \frac{1}{x\sqrt{yz}}$

    CMTT $\frac{2}{y^{2}+zx}\leq \frac{1}{y\sqrt{xz}}$

               $\frac{2}{z^{2}+xy}\leq \frac{1}{z\sqrt{yx}}$

           Cộng vế $\Rightarrow \frac{1}{x\sqrt{yz}}+\frac{1}{y\sqrt{zx}}+\frac{1}{z\sqrt{xy}}\geq \frac{2}{x^{2}+yz}+\frac{2}{y^{2}+zx}+\frac{2}{z^{2}+xy}$     (2)

      Từ (1) và (2) suy ra (3) (dpcm)

      Dấu bằng xảy ra khi x=y=z 

   P/s: cho mình hỏi đây là bài lớp mấy

Dạ là một bài trong đề ôn tập lớp 9 mình đi xin ạ.