Đến nội dung

Hình ảnh

Bất đẳng thức và cực trị


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
dangquockhanh27

dangquockhanh27

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Cho 2 số dương x và y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

S=$\frac{x+y}{\sqrt{x(2y+x)}+\sqrt{y(2x+y)}}$



#2
MrDat

MrDat

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 16 Bài viết

Có $x+y\geq 2\sqrt{xy} \Rightarrow \sqrt{xy}\leq \frac{x+y}{2}$

Có S$\doteq \frac{x+y}{^{\sqrt{x(2y+x)}+\sqrt{y(2x+y)}}}\doteq \frac{^{\sqrt{3}(x+y)}}{\sqrt{3x(2y+x)}+\sqrt{3y(2x+y)}}$

Mà $\sqrt{3x(2y+x)}\leq \frac{3x+2y+x}{2}$

      $\sqrt{3y(2x+y)}\leq \frac{3y+2x+y}{2}$

$\Rightarrow \frac{\sqrt{3}(x+y)}{\sqrt{3x(2y+x)}+\sqrt{3y(2y+x)}}\geq \frac{2\sqrt{3}(x+y)}{3x+2y+x+3y+2x+y}$$\doteq \frac{2\sqrt{3}(x+y)}{6(x+y)}\doteq \frac{1}{\sqrt{3}}$

Vậy $S\geq \frac{1}{{\sqrt{3}}}$

Dấu bằng khi x=y

P/s Like và kết bạn với mình nhé


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MrDat: 25-04-2019 - 21:32





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh