Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh rằng trung điểm đoạn thẳng nối tâm


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 toanND

toanND

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết

Đã gửi 23-04-2019 - 21:33

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) đường kính BD. E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng trung điểm đoạn thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC nằm trên BD. (sử dụng định lí con bướm)

capture 3.PNG



#2 halloffame

halloffame

    Thiếu úy

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 518 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:LQĐ
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 11-05-2019 - 10:54

Mình trình bày hai cách chứng minh không dùng định lí con bướm.

 

 

Cách 1.

Ta có $\widehat{O_1EB}= \frac{180^0- \widehat{EO_1B}}{2}=90^0- \widehat{EAB}=90^0- \widehat{CDE} \Rightarrow EO_1 \perp CD.$

Mà $CD$ là dây chung của $(O),(O_2) \Rightarrow OO_2 \perp CD \Rightarrow EO_1 \parallel OO_2.$

Tương tự $EO_2 \parallel OO_1 \Rightarrow EO_1OO_2$ là hình bình hành. Do đó trung điểm $O_1O_2$ nằm trên $OE.$ Ta có đpcm.

 

 

Cách 2.

Xét phép nghịch đảo tâm $E$ phương tích bất kì, ta đưa bài toán trên về bài toán mới sau.

Bài toán mới. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$ đường kính $BD,E$ là giao điểm hai đường chéo. Gọi $O_1,O_2$ là điểm đối xứng với $E$ qua $AB,CD.$

Chứng minh rằng nếu $(EO_1O_2)$ cắt lại $BD$ tại $I \neq E$ thì $EO_1IO_2$ là tứ giác điều hoà.

Chứng minh. Gọi $E_1,E_2,I'$ là trung điểm $EO_1,EO_2,EI$ thì $E_1 \in AB, E_2 \in CD,I \in (EE_1E_2).$

Gọi $AB$ cắt $CD$ tại $G$ thì $\widehat{GE_1E}= \widehat{GE_2E}=90^0 \Rightarrow G \in (EE_1E_2) \Rightarrow \widehat{GI'E}= \widehat{GE_1E}=90^0.$ 

Theo hệ quả của định lí Brocard, $-1=(GI',GE,GD,GA)=G(I'EE_2E_1)=(I'EE_2E_1) \Rightarrow I'E_2EE_1$ là tứ giác điều hoà.

Qua phép vị tự tâm $E$ tỉ số $2$ thì $IO_2EO_1$ là tứ giác điều hoà. Ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 11-05-2019 - 11:08

Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.
I am MPCBCNMLHTBHMLPC.




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh