Chủ đề này có 2 trả lời

[baybay1]

 Cho a > b và a.b = 1. Chứng minh: (a² + b²)²  > 8(a - b)²

[DOTOANNANG]

$<$$=$$>$ $P(\,a\,)= a^{\,2}+ b^{\,2}- 2\,\sqrt{\,2}\,(\,a- b\,)> 0$$.$ Từ$:$ $ab= 1$ $=$$>$ $(\,a- b\,)(\,4- a^{\,2}- b^{\,2}\,)(\,a+ \sqrt{2- \sqrt{\,3}}\,)> 0,\,(\,a- b\,)(\,4- a^{\,2}- b^{\,2}\,)(\,a- \sqrt{\,2+ \sqrt{\,3}}\,)> 0,\,a{b}'+ b= 0$ $=$$>$ ${b}'= -\,\frac{b}{a}$$,$ ta được$:$

$${P}'(\,a\,)= 2\left ( \sqrt{\,2}\,(\,{b}'- 1\,)+ b{b}'+ a \right )= 2\left [ \sqrt{\,2}\left ( -\,\frac{b}{a}- 1 \right )+ b\left ( -\,\frac{b}{a} \right )+ a \right ]$$

Ta sẽ chứng minh$:$ $(\,4- a^{\,2}- b^{\,2}\,){P}'(\,a\,)> 0$ $<$$=$$>$ $(\,4- a^{\,2}- b^{\,2}\,)\left [ 2\left ( \frac{b}{a}+ 1 \right )^{\,2}- \left ( \frac{b^{\,2}}{a}- a \right )^{\,2} \right ]> 0$

$<$$=$$>$ $(\,4- a^{\,2}- b^{\,2}\,)(\,a+ b\,)^{\,2}\left [ (\,4- a^{\,2}- b^{\,2}\,)+ 2(\,ab- 1\,) \right ]> 0$

Do đó$:$ $(\,4- a^{\,2}- b^{\,2}\,){P}'(\,a\,)> 0$ $<$$=$$>$ $(\,a- b\,)(\,4- a^{\,2}- b^{\,2}\,){P}'(\,a\,)> 0$ $($ https://diendantoanh...e-5#entry721125 $)$ 

$<$$=$$>$ 

$$\begin{equation}\begin{split} (\,a+ \sqrt{2- \sqrt{\,3}}\,){P}'(\,a\,) & > & 0 \\ (\,a- \sqrt{2+ \sqrt{\,3}}\,){P}'(\,a\,) & > & 0 \end{split}\end{equation}$$

$<$$=$$>$ $P(\,a\,)> P\left ( -\,\sqrt{\,2- \sqrt{\,3}} \right )= P\left ( \,\sqrt{\,2+ \sqrt{\,3}} \right )= 0$

Spoiler

$$\begin{equation}\begin{split} 4- a^{\,2}- b^{\,2} & = & 0 \\ ab & = & 1 \\ a & > & b \end{split}\end{equation}$$

$<$$=$$>$

$$\begin{equation}\begin{split} a^{\,4}- 4\,a^{\,2}+ 1 & = & 0 \\ ab& = & 1 \\ a & > & b \end{split}\end{equation}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DOTOANNANG: 24-04-2019 - 18:59

[viet9a14124869]

 Cho a > b và a.b = 1. Chứng minh: (a² + b²)²  > 8(a - b)²

$\Leftrightarrow [a^2+b^2-2\sqrt{2}(a-b)].[a^2+b^2+2\sqrt{2}(a-b)]>0$ (*)

Lại có ab=1 nên :

          (*) $\Leftrightarrow (a-b-\sqrt{2})^2.(a-b+\sqrt{2})^2 \geq 0  $ 

 

 

 

...  Hình như bài toán có dấu bằng mà nhỉ ?? ... 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 25-04-2019 - 20:08