Chủ đề này có 3 trả lời

[haiyen8a]

[chanhquocnghiem]

$\forall x\in(0;+\infty)$, ta có :

$\frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}=\sqrt{x+1}\Rightarrow \left ( 2\sqrt{f(x)} \right )'=\sqrt{x+1}$

$\Rightarrow \left ( \sqrt{f(x)} \right )'=\frac{1}{2}\left ( x+1 \right )^{\frac{1}{2}}\Rightarrow \sqrt{f(x)}=\frac{1}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}+C$

$\Rightarrow f(x)=\frac{1}{9}(x+1)^3+\frac{2C}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}+C^2\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{3}(x+1)^2+C(x+1)^{\frac{1}{2}}$

$f(3)=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{4^3}{9}+\frac{16C}{3}+C^2=\frac{2}{3}\Rightarrow C=C_1=\frac{-8+\sqrt6}{3}$ hoặc $C=C_2=\frac{-8-\sqrt6}{3}$

Dễ thấy rằng dù $C=C_1$ hay $C=C_2$ thì với $x$ dương đủ nhỏ, ta sẽ có

$f'(x)=\frac{1}{3}(x+1)^2+C(x+1)^{\frac{1}{2}}< 0$ (tức là $f(x)$ không thỏa mãn điều kiện "đồng biến trên $(0;+\infty)$")

Như vậy, không tồn tại hàm $f(x)$ thỏa mãn các điều kiện đề bài $\rightarrow$ không có mệnh đề nào đúng.

[haiyen8a]

$\forall x\in(0;+\infty)$, ta có :

$\frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}}=\sqrt{x+1}\Rightarrow \left ( 2\sqrt{f(x)} \right )'=\sqrt{x+1}$

$\Rightarrow \left ( \sqrt{f(x)} \right )'=\frac{1}{2}\left ( x+1 \right )^{\frac{1}{2}}\Rightarrow \sqrt{f(x)}=\frac{1}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}+C$

$\Rightarrow f(x)=\frac{1}{9}(x+1)^3+\frac{2C}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}+C^2\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{3}(x+1)^2+C(x+1)^{\frac{1}{2}}$

$f(3)=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{4^3}{9}+\frac{16C}{3}+C^2=\frac{2}{3}\Rightarrow C=C_1=\frac{-8+\sqrt6}{3}$ hoặc $C=C_2=\frac{-8-\sqrt6}{3}$

Dễ thấy rằng dù $C=C_1$ hay $C=C_2$ thì với $x$ dương đủ nhỏ, ta sẽ có

$f'(x)=\frac{1}{3}(x+1)^2+C(x+1)^{\frac{1}{2}}< 0$ (tức là $f(x)$ không thỏa mãn điều kiện "đồng biến trên $(0;+\infty)$")

Như vậy, không tồn tại hàm $f(x)$ thỏa mãn các điều kiện đề bài $\rightarrow$ không có mệnh đề nào đúng.

Đề đúng nhé. Mình chụp từ đề thi.

[chanhquocnghiem]

Đề đúng nhé. Mình chụp từ đề thi.

Người ra đề có sai sót (thỉnh thoảng chuyện này vẫn xảy ra)