Chủ đề này có 2 trả lời

[kietlthn]

Chứng minh với mọi số tự nhiên n thì $n^3 - 9n + 27$ không chia hết cho 81

[Tran Thanh Phuong]

Dạng bài này có nhiều cách làm, mình xin trình bày một cách đơn giản, hiệu quả, đó là dùng phương pháp quy nạp toán học

Bài làm :

Đặt $A=n^3-9n+27$ 

+) Xét $n=1$ ta có : $A=1^3-9.1+27=19$ do đó A không chia hết cho 81

+) Giả sử điều phải chứng minh đúng với n = k

Khi đó ta có $A=k^3-9k+27$ không chia hết cho 81 (*)

+) Ta cần chứng minh điều phải chứng minh đúng với $n=k+1$

$A=(k+1)^3-9(k+1)+27$

$A=k^3+3k^2+3k+1-9k-9+27$

$A=k^3+3k^2-6k+19$

$A=k^3-9k+27+3k^2+3k+8$

Theo (*) ta có $A=k^3-9k+27$ không chia hết cho 81 (1)

Xét $3k^2+3k+8=3k(k+1)+8$

k(k+1) là tích hai số liên tiếp $\Rightarrow 3k(k+1)$ chẵn

$\Rightarrow 3k(k+1)+8$ chẵn nên $\Rightarrow 3k(k+1)$ không chia hết cho 81 (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow k^3-9k+27+3k(k+1)+8$ không chia hết cho 81

Hay $A=(k+1)^3-9(k+1)+27$ không chia hết cho 81

Vậy ta có điều giả sử là đúng, điều phải chứng minh đúng

[florian]

Nếu n không chia hết cho 3 thì hiển nhiên $n^{3}-9n+27$ không chia hết cho 3 nên không chia hết cho 81.

Nếu n chia hết cho 3, thì ta xét 3 dạng của n là$9k , 9k+3, 9k+6$

1) Nếu n =9k thì $n^3 -9n \vdots 81$ nên có điều phải chứng minh

2) Nếu n =9k+3 thì $n^3-9n+27 =(9k+3)^{3}-9(9k+3)+27=729k^3-729k^2+243k-27-81k+27-27$ không chia hết cho 81

3) Nếu n =9k+6 thì tương tự TH2

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi florian: 28-04-2019 - 13:33