Chủ đề này có 2 trả lời

[DOTOANNANG]

Viết dạng S*O*S $($với $a,\,b,\,c\geqq 0$$)$ của$:$

$$F= a^{\,2}+ b^{\,2}+ c^{\,2}+ 2\,abc+ 1- 2(\,ab+ bc+ ca\,)= F_{\,i}$$

[DOTOANNANG]

$$\begin{equation}\begin{split} {\it F1} &=& {\it F3}+ c(\,2- c\,)(\,bc- b\,)^{\,2} \\ {\it F2} &=& (\,a+ b- c\,)^{\,2}+ 1- 2\,ab(\,2- c\,) \\ {\it F1} &\equiv& {\it F3}\geqq 0 \end{split}\end{equation}$$

S ử  d ụ n g

$$A\,X^{\,2}+ B\,X+ C= \frac{(\,2\,AX+ B\,)^{\,2}}{4\,A}- \frac{B^{\,2}- 4\,AC}{4\,A}$$

$<$$=$$>$

$${\it F3}= (\,a- b- c+ bc\,)^{\,2}+ (\,bc^{\,2}- 2\,bc+ 1\,)^{\,2}$$

$<$$=$$>$

$$F= \frac{2\,\left \{ (\,a- b- c+ bc\,)^{\,2}+ (\,bc^{\,2}- 2\,bc+ 1\,)^{\,2} \right \}ab+ \left \{ (\,a+ b- c\,)^{\,2}+ 1 \right \}c(\,bc- b\,)^{\,2}}{c(\,bc- b\,)^{\,2}+ 2\,ab}$$

 

[KietLW9]

Giả sử c = min{a,b,c}

Đặt $f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2+2abc+1-2(ab+bc+ca)$ và $t=\sqrt{ab}\geqq c$

Có: $f(a,b,c)-f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c)=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2(a+b+2\sqrt{ab}-2c)\geqq 0$

$\Rightarrow f(a,b,c)\geqq f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c) =f(t,t,c)$

Ta cần chứng minh f(t,t,c) không âm

Thật vậy: $f(t,t,c)=c^2+2t^2c-4tc+1=(c-1)^2+2c(t-1)^2\geqq 0$ 

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 29-03-2021 - 10:59