Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

4($\sum \frac{1}{a+b})-\sum \frac{1}{a}\leqslant \frac{9}{a+b+c}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 29 trả lời

#1 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-05-2019 - 10:02

Cho 3 số a,b,c thực dương

CMR: 4($\sum \frac{1}{a+b})-\sum \frac{1}{a}\leqslant \frac{9}{a+b+c}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 16-05-2019 - 09:16


#2 DOTOANNANG

DOTOANNANG

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1395 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:T H P T Ngô Gia Tự ( "bắp nhà chùa" ) , Phú Yên

Đã gửi 01-05-2019 - 12:15

$<$$=$$>$ $\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}- \frac{9}{a+ b+ c}\leqq \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}- \frac{4}{a+ b}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}- \frac{4}{b+ c}+ \frac{1}{c}+ \frac{1}{a}- \frac{4}{c+ a}$

$<$$=$$>$ $\frac{(\,a- b\,)^{\,2}}{ab(\,a+ b+ c\,)}+ \frac{(\,b- c\,)^{\,2}}{bc(\,a+ b+ c\,)}+ \frac{(\,c- a\,)^{\,2}}{ab(\,a+ b+ c\,)}\leqq \frac{(\,a- b\,)^{\,2}}{ab(\,a+ b\,)}+ \frac{(\,b- c\,)^{\,2}}{bc(\,b+ c\,)}+ \frac{(\,c- a\,)^{\,2}}{ca(\,c+ a\,)}$



#3 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-05-2019 - 20:32

Cảm ơn bạn nhé



#4 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-05-2019 - 20:37

Cho 3 số x,y,z thuộc đoạn [0;2].Tìm GTNN của K=$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}+\sqrt{z+1}$

Giúp mình với,mai mình phải nộp bài rồi



#5 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-05-2019 - 21:24

Cho a,b,c dương thỏa mãn abc=1.

CMR: $\sum \frac{a}{b}\geq \frac{3}{2}(a+b+c-1)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 15-05-2019 - 21:25


#6 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-05-2019 - 21:32

Cho 3 số không âm a,b,c có tổng bằng 3.Tìm max của biểu thức:

P=$$\sum a\sqrt{b^{3}+1}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 15-05-2019 - 21:33


#7 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-05-2019 - 21:34

$<$$=$$>$ $\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}- \frac{9}{a+ b+ c}\leqq \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}- \frac{4}{a+ b}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}- \frac{4}{b+ c}+ \frac{1}{c}+ \frac{1}{a}- \frac{4}{c+ a}$

$<$$=$$>$ $\frac{(\,a- b\,)^{\,2}}{ab(\,a+ b+ c\,)}+ \frac{(\,b- c\,)^{\,2}}{bc(\,a+ b+ c\,)}+ \frac{(\,c- a\,)^{\,2}}{ab(\,a+ b+ c\,)}\leqq \frac{(\,a- b\,)^{\,2}}{ab(\,a+ b\,)}+ \frac{(\,b- c\,)^{\,2}}{bc(\,b+ c\,)}+ \frac{(\,c- a\,)^{\,2}}{ca(\,c+ a\,)}$

Có cách dùng BĐT ko bạn



#8 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-05-2019 - 21:08

Cho a;b dương thỏa mãn: $2(a^2+b^2)+1 \leq (2a+1)(2b+1)$.Tìm min của biểu thức:

S= $a^2+b^2+\frac{1}{ab}$



#9 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 26-06-2019 - 21:07

Cho 3 số dương a,b,c thoả mãn : $a+b+c=ab+bc+ca$ . Chứng minh rằng:

$\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b+c}{b^{2}+c^2}+\frac{c+a}{c^2+a^{2}}\leq 3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 26-06-2019 - 21:08


#10 Khoa Linh

Khoa Linh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 601 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khóa 36, THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality

Đã gửi 27-06-2019 - 08:00

Cho 3 số dương a,b,c thoả mãn : $a+b+c=ab+bc+ca$ . Chứng minh rằng:

$\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b+c}{b^{2}+c^2}+\frac{c+a}{c^2+a^{2}}\leq 3$

Ta phân tích như sau 

Vế trái của BĐT có bậc là -1 (do tử bậc 1, mẫu bậc 2), mà vế trái là $3$. 

Để ý giả thiết là $a+b+c=ab+bc+ca$ nên ta viết lại BĐT thành 

$\sum \frac{(a+b)(ab+bc+ca)}{a^2+b^2} \leq 3(a+b+c)$

Thật vậy, ta có:

$\sum \frac{(a+b)(ab+bc+ca)}{a^2+b^2}=\sum \left ( \frac{(a+b)^2c}{a^2+b^2}+\frac{ab(a+b)}{a^2+b^2} \right )\leq \sum \left ( 2c+\frac{a+b}{2} \right )=3(a+b+c)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 27-06-2019 - 08:01

$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#11 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-07-2019 - 21:47

Cho 3 số x,y,z thuộc đoạn [0;2].Tìm GTNN của K=$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}+\sqrt{z+1}$

Giúp mình với,mai mình phải nộp bài rồi

Ta chứng minh $K\geq 1+\sqrt{2}+\sqrt{3}$ .

Thật vậy , không mất tính tổng quát , giả sử $0\leq x\leq y\leq z\leq 2$ , BĐT tương đương với:
$(\sqrt{x+1}-1)+(\sqrt{y+1}-\sqrt{2})+(\sqrt{z+1}-\sqrt{3})\geq 0$

$\frac{x}{\sqrt{x+1}+1}+\frac{y-1}{\sqrt{y+1}+\sqrt{2}}+\frac{z-2}{\sqrt{z+1}+\sqrt{3}}\geq 0$

BĐT có dạng: $Ax+B(y-1)+C(z-2)\geq 0$ với $A=\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}$,$B=\frac{1}{\sqrt{y+1}+\sqrt{2}}$,$C=\frac{1}{\sqrt{z+1}+\sqrt{3}}$

Vì $0\leq x\leq y\leq z\leq 2$ nên A>B>C

Lại có $x\geq 0,z-2\leq 0$ nên $Ax\geq Bx$,$C(z-2)\geq B(z-2)$ nên

$Ax+B(y-1)+C(z-2)\geq 0$ . Chứng minh hoàn tất.

Dấu bằng xảy ra khi x=0,y=1,z=2 và các hoán vị.

 

P/S: Quan trọng là đoán dc dấu bằng, thường là 1 số ở biên dưới, 1 số ở biên trên.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 01-07-2019 - 21:51


#12 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-07-2019 - 20:27

Ta phân tích như sau 

Vế trái của BĐT có bậc là -1 (do tử bậc 1, mẫu bậc 2), mà vế trái là $3$. 

Để ý giả thiết là $a+b+c=ab+bc+ca$ nên ta viết lại BĐT thành 

$\sum \frac{(a+b)(ab+bc+ca)}{a^2+b^2} \leq 3(a+b+c)$

Thật vậy, ta có:

$\sum \frac{(a+b)(ab+bc+ca)}{a^2+b^2}=\sum \left ( \frac{(a+b)^2c}{a^2+b^2}+\frac{ab(a+b)}{a^2+b^2} \right )\leq \sum \left ( 2c+\frac{a+b}{2} \right )=3(a+b+c)Cac

Cách của mình cũng tương tự như vậy.

 

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :

$\sum \frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}\leq 2\sum \frac{1}{a+b}$

Ta cần chứng minh: $\sum \frac{1}{a+b}\leq \frac{3}{2}$ hay

$(ab+bc+ca)\sum \frac{1}{a+b}\leq \frac{3}{2}(a+b+c)$

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$\sum a+\sum \frac{ab}{a+b}\leq \frac{3}{2}(a+b+c)$

$\sum \frac{ab}{a+b}\leq \frac{a+b+c}{2}$

Đến đây dùng AM-GM : $\sum \frac{ab}{a+b}\leq \sum \frac{a+b}{4}= \frac{a+b+c}{2}$. Chứng minh hoàn tất.

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1.



#13 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-07-2019 - 21:49

Cho a,b,c dương thỏa mãn abc=1.

CMR: $\sum \frac{a}{b}\geq \frac{3}{2}(a+b+c-1)$

 

Đặt $x=\sqrt[3]{\frac{a}{b}} ; y=\sqrt[3]{\frac{b}{c}} ; z=\sqrt[3]{\frac{c}{a}}$ . Ta có:

$a=\sqrt[3]{a}^{3}=\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=x^{2}y,b=y^{2}z,c=z^{2}x$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

$2(x^{3}+y^{3}+z^{3})\geq 3(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x-1)$  hay

$2(x^{3}+y^{3}+z^{3})+3xyz\geq 3(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)$ do xyz=1

Không mất tính tổng quát , giả sử z nằm giữa x và y . Thế thì

$x(y-z)(z-x)\geq 0$ hay

$z^{2}x+x^{2}y\leq xyz+x^{2}z$

$3(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)\leq 3xyz+3z(x^{2}+y^{2})$

Ta cần chứng minh : $3z(x^{2}+y^{2})\leq 2(x^{3}+y^{3}+z^{3})$

Nhưng bất đẳng thức trên tương đương với

$(x-z)^{2}(2x+z)+(y-z)^{2}(2y+z)\geq 0$ , luôn đúng với x,y,z>0 . Chứng minh hoàn tất.

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1 hay a=b=c=1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 02-07-2019 - 22:06


#14 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-07-2019 - 20:36

Cho a,b,c không âm thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc= 4$ . Chứng minh rằng: $0\leq ab+bc+ca-abc\leq 2$



#15 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-07-2019 - 20:54

Cho a,b,c là các số thực có tổng bình phương bằng 1.Tìm GTLN của P= $a+b+c-4abc$



#16 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-07-2019 - 21:02

 

 

Đặt $x=\sqrt[3]{\frac{a}{b}} ; y=\sqrt[3]{\frac{b}{c}} ; z=\sqrt[3]{\frac{c}{a}}$ . Ta có:

$a=\sqrt[3]{a}^{3}=\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=x^{2}y,b=y^{2}z,c=z^{2}x$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

$2(x^{3}+y^{3}+z^{3})\geq 3(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x-1)$  hay

$2(x^{3}+y^{3}+z^{3})+3xyz\geq 3(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)$ do xyz=1

Không mất tính tổng quát , giả sử z nằm giữa x và y . Thế thì

$x(y-z)(z-x)\geq 0$ hay

$z^{2}x+x^{2}y\leq xyz+x^{2}z$

$3(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)\leq 3xyz+3z(x^{2}+y^{2})$

Ta cần chứng minh : $3z(x^{2}+y^{2})\leq 2(x^{3}+y^{3}+z^{3})$

Nhưng bất đẳng thức trên tương đương với

$(x-z)^{2}(2x+z)+(y-z)^{2}(2y+z)\geq 0$ , luôn đúng với x,y,z>0 . Chứng minh hoàn tất.

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1 hay a=b=c=1

 

Bài này có thể giải theo cách khác như sau:

Áp dụng BĐT Schur : $2(x^{3}+y^{3}+z^{3})+3xyz\geq (x^{2}+y^{2}+z^{2})(x+y+z)$

Cần chứng minh: $(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x+y+z)\geq 3(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)$ hay $x^{3}+y^{3}+z^{3}+xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}\geq 2(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)$

lại theo BĐT AM-GM: $x^{3}+xy^{2}\geq 2x^{2}y$

Viết 2 BĐT tương tự rồi cộng theo vế ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 12-07-2019 - 21:05


#17 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-07-2019 - 21:05

Cho a,b,c thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $abc(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)\leq 8$



#18 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-07-2019 - 21:23

Cho a,b,c là các số thực không âm. Chứng minh rằng: $8(a^{4}+b^{4}+c^{4})+19abc(a+b+c)\geq (a+b+c)^{4}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 13-07-2019 - 20:29


#19 phongmaths

phongmaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hóa
  • Sở thích:xem anime, làm toán, chơi game, đọc sách

Đã gửi 12-07-2019 - 22:28

Cho a,b,c là các số thực không âm. Chứng minh rằng: $8(a^{4}+b^{4}+c^{4})+11abc(a+b+c)\geq (a+b+c)^{4}$

Bất đẳng thức sai rồi bạn.Nếu cho a=b=c=1 thì $8(a^{4}+b^{4}+c^{4})+11abc(a+b+c)=57$.Còn $(a+b+c)^{4}=81$ (Vô lí)



#20 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-07-2019 - 20:28

Bất đẳng thức sai rồi bạn.Nếu cho a=b=c=1 thì $8(a^{4}+b^{4}+c^{4})+11abc(a+b+c)=57$.Còn $(a+b+c)^{4}=81$ (Vô lí)

Sorry,mình đánh nhầm,chỗ đó là $19abc(a+b+c)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 13-07-2019 - 20:28





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh