Chủ đề này có 27 trả lời

[PDF]

Cho 3 số a,b,c thực dương

CMR: 4($\sum \frac{1}{a+b})-\sum \frac{1}{a}\leqslant \frac{9}{a+b+c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 16-05-2019 - 09:16

[DOTOANNANG]

$<$$=$$>$ $\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}- \frac{9}{a+ b+ c}\leqq \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}- \frac{4}{a+ b}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}- \frac{4}{b+ c}+ \frac{1}{c}+ \frac{1}{a}- \frac{4}{c+ a}$

$<$$=$$>$ $\frac{(\,a- b\,)^{\,2}}{ab(\,a+ b+ c\,)}+ \frac{(\,b- c\,)^{\,2}}{bc(\,a+ b+ c\,)}+ \frac{(\,c- a\,)^{\,2}}{ab(\,a+ b+ c\,)}\leqq \frac{(\,a- b\,)^{\,2}}{ab(\,a+ b\,)}+ \frac{(\,b- c\,)^{\,2}}{bc(\,b+ c\,)}+ \frac{(\,c- a\,)^{\,2}}{ca(\,c+ a\,)}$

[PDF]

Cảm ơn bạn nhé

[PDF]

Cho 3 số x,y,z thuộc đoạn [0;2].Tìm GTNN của K=$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}+\sqrt{z+1}$

Giúp mình với,mai mình phải nộp bài rồi

[PDF]

Cho a,b,c dương thỏa mãn abc=1.

CMR: $\sum \frac{a}{b}\geq \frac{3}{2}(a+b+c-1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 15-05-2019 - 21:25

[PDF]

Cho 3 số không âm a,b,c có tổng bằng 3.Tìm max của biểu thức:

P=$$\sum a\sqrt{b^{3}+1}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 15-05-2019 - 21:33

[PDF]

$<$$=$$>$ $\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}- \frac{9}{a+ b+ c}\leqq \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}- \frac{4}{a+ b}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}- \frac{4}{b+ c}+ \frac{1}{c}+ \frac{1}{a}- \frac{4}{c+ a}$

$<$$=$$>$ $\frac{(\,a- b\,)^{\,2}}{ab(\,a+ b+ c\,)}+ \frac{(\,b- c\,)^{\,2}}{bc(\,a+ b+ c\,)}+ \frac{(\,c- a\,)^{\,2}}{ab(\,a+ b+ c\,)}\leqq \frac{(\,a- b\,)^{\,2}}{ab(\,a+ b\,)}+ \frac{(\,b- c\,)^{\,2}}{bc(\,b+ c\,)}+ \frac{(\,c- a\,)^{\,2}}{ca(\,c+ a\,)}$

Có cách dùng BĐT ko bạn

[PDF]

Cho a;b dương thỏa mãn: $2(a^2+b^2)+1 \leq (2a+1)(2b+1)$.Tìm min của biểu thức:

S= $a^2+b^2+\frac{1}{ab}$

[PDF]

Cho 3 số dương a,b,c thoả mãn : $a+b+c=ab+bc+ca$ . Chứng minh rằng:

$\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b+c}{b^{2}+c^2}+\frac{c+a}{c^2+a^{2}}\leq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 26-06-2019 - 21:08

[Khoa Linh]

Cho 3 số dương a,b,c thoả mãn : $a+b+c=ab+bc+ca$ . Chứng minh rằng:

$\frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b+c}{b^{2}+c^2}+\frac{c+a}{c^2+a^{2}}\leq 3$

Ta phân tích như sau 

Vế trái của BĐT có bậc là -1 (do tử bậc 1, mẫu bậc 2), mà vế trái là $3$. 

Để ý giả thiết là $a+b+c=ab+bc+ca$ nên ta viết lại BĐT thành 

$\sum \frac{(a+b)(ab+bc+ca)}{a^2+b^2} \leq 3(a+b+c)$

Thật vậy, ta có:

$\sum \frac{(a+b)(ab+bc+ca)}{a^2+b^2}=\sum \left ( \frac{(a+b)^2c}{a^2+b^2}+\frac{ab(a+b)}{a^2+b^2} \right )\leq \sum \left ( 2c+\frac{a+b}{2} \right )=3(a+b+c)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoa Linh: 27-06-2019 - 08:01

[PDF]

Cho 3 số x,y,z thuộc đoạn [0;2].Tìm GTNN của K=$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}+\sqrt{z+1}$

Giúp mình với,mai mình phải nộp bài rồi

Ta chứng minh $K\geq 1+\sqrt{2}+\sqrt{3}$ .

Thật vậy , không mất tính tổng quát , giả sử $0\leq x\leq y\leq z\leq 2$ , BĐT tương đương với:
$(\sqrt{x+1}-1)+(\sqrt{y+1}-\sqrt{2})+(\sqrt{z+1}-\sqrt{3})\geq 0$

$\frac{x}{\sqrt{x+1}+1}+\frac{y-1}{\sqrt{y+1}+\sqrt{2}}+\frac{z-2}{\sqrt{z+1}+\sqrt{3}}\geq 0$

BĐT có dạng: $Ax+B(y-1)+C(z-2)\geq 0$ với $A=\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}$,$B=\frac{1}{\sqrt{y+1}+\sqrt{2}}$,$C=\frac{1}{\sqrt{z+1}+\sqrt{3}}$

Vì $0\leq x\leq y\leq z\leq 2$ nên A>B>C

Lại có $x\geq 0,z-2\leq 0$ nên $Ax\geq Bx$,$C(z-2)\geq B(z-2)$ nên

$Ax+B(y-1)+C(z-2)\geq 0$ . Chứng minh hoàn tất.

Dấu bằng xảy ra khi x=0,y=1,z=2 và các hoán vị.

 

P/S: Quan trọng là đoán dc dấu bằng, thường là 1 số ở biên dưới, 1 số ở biên trên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 01-07-2019 - 21:51

[PDF]

Ta phân tích như sau 

Vế trái của BĐT có bậc là -1 (do tử bậc 1, mẫu bậc 2), mà vế trái là $3$. 

Để ý giả thiết là $a+b+c=ab+bc+ca$ nên ta viết lại BĐT thành 

$\sum \frac{(a+b)(ab+bc+ca)}{a^2+b^2} \leq 3(a+b+c)$

Thật vậy, ta có:

$\sum \frac{(a+b)(ab+bc+ca)}{a^2+b^2}=\sum \left ( \frac{(a+b)^2c}{a^2+b^2}+\frac{ab(a+b)}{a^2+b^2} \right )\leq \sum \left ( 2c+\frac{a+b}{2} \right )=3(a+b+c)Cac

Cách của mình cũng tương tự như vậy.

 

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :

$\sum \frac{a+b}{a^{2}+b^{2}}\leq 2\sum \frac{1}{a+b}$

Ta cần chứng minh: $\sum \frac{1}{a+b}\leq \frac{3}{2}$ hay

$(ab+bc+ca)\sum \frac{1}{a+b}\leq \frac{3}{2}(a+b+c)$

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$\sum a+\sum \frac{ab}{a+b}\leq \frac{3}{2}(a+b+c)$

$\sum \frac{ab}{a+b}\leq \frac{a+b+c}{2}$

Đến đây dùng AM-GM : $\sum \frac{ab}{a+b}\leq \sum \frac{a+b}{4}= \frac{a+b+c}{2}$. Chứng minh hoàn tất.

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1.

[PDF]

Cho a,b,c dương thỏa mãn abc=1.

CMR: $\sum \frac{a}{b}\geq \frac{3}{2}(a+b+c-1)$

 

Đặt $x=\sqrt[3]{\frac{a}{b}} ; y=\sqrt[3]{\frac{b}{c}} ; z=\sqrt[3]{\frac{c}{a}}$ . Ta có:

$a=\sqrt[3]{a}^{3}=\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=x^{2}y,b=y^{2}z,c=z^{2}x$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

$2(x^{3}+y^{3}+z^{3})\geq 3(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x-1)$  hay

$2(x^{3}+y^{3}+z^{3})+3xyz\geq 3(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)$ do xyz=1

Không mất tính tổng quát , giả sử z nằm giữa x và y . Thế thì

$x(y-z)(z-x)\geq 0$ hay

$z^{2}x+x^{2}y\leq xyz+x^{2}z$

$3(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)\leq 3xyz+3z(x^{2}+y^{2})$

Ta cần chứng minh : $3z(x^{2}+y^{2})\leq 2(x^{3}+y^{3}+z^{3})$

Nhưng bất đẳng thức trên tương đương với

$(x-z)^{2}(2x+z)+(y-z)^{2}(2y+z)\geq 0$ , luôn đúng với x,y,z>0 . Chứng minh hoàn tất.

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1 hay a=b=c=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 02-07-2019 - 22:06

[PDF]

Cho a,b,c không âm thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc= 4$ . Chứng minh rằng: $0\leq ab+bc+ca-abc\leq 2$

[PDF]

Cho a,b,c là các số thực có tổng bình phương bằng 1.Tìm GTLN của P= $a+b+c-4abc$

[PDF]

 

 

Đặt $x=\sqrt[3]{\frac{a}{b}} ; y=\sqrt[3]{\frac{b}{c}} ; z=\sqrt[3]{\frac{c}{a}}$ . Ta có:

$a=\sqrt[3]{a}^{3}=\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=x^{2}y,b=y^{2}z,c=z^{2}x$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

$2(x^{3}+y^{3}+z^{3})\geq 3(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x-1)$  hay

$2(x^{3}+y^{3}+z^{3})+3xyz\geq 3(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)$ do xyz=1

Không mất tính tổng quát , giả sử z nằm giữa x và y . Thế thì

$x(y-z)(z-x)\geq 0$ hay

$z^{2}x+x^{2}y\leq xyz+x^{2}z$

$3(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)\leq 3xyz+3z(x^{2}+y^{2})$

Ta cần chứng minh : $3z(x^{2}+y^{2})\leq 2(x^{3}+y^{3}+z^{3})$

Nhưng bất đẳng thức trên tương đương với

$(x-z)^{2}(2x+z)+(y-z)^{2}(2y+z)\geq 0$ , luôn đúng với x,y,z>0 . Chứng minh hoàn tất.

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1 hay a=b=c=1

 

Bài này có thể giải theo cách khác như sau:

Áp dụng BĐT Schur : $2(x^{3}+y^{3}+z^{3})+3xyz\geq (x^{2}+y^{2}+z^{2})(x+y+z)$

Cần chứng minh: $(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x+y+z)\geq 3(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)$ hay $x^{3}+y^{3}+z^{3}+xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}\geq 2(x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x)$

lại theo BĐT AM-GM: $x^{3}+xy^{2}\geq 2x^{2}y$

Viết 2 BĐT tương tự rồi cộng theo vế ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 12-07-2019 - 21:05

[PDF]

Cho a,b,c thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng: $abc(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)\leq 8$

[PDF]

Cho a,b,c là các số thực không âm. Chứng minh rằng: $8(a^{4}+b^{4}+c^{4})+19abc(a+b+c)\geq (a+b+c)^{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 13-07-2019 - 20:29

[phongmaths]

Cho a,b,c là các số thực không âm. Chứng minh rằng: $8(a^{4}+b^{4}+c^{4})+11abc(a+b+c)\geq (a+b+c)^{4}$

Bất đẳng thức sai rồi bạn.Nếu cho a=b=c=1 thì $8(a^{4}+b^{4}+c^{4})+11abc(a+b+c)=57$.Còn $(a+b+c)^{4}=81$ (Vô lí)

[PDF]

Bất đẳng thức sai rồi bạn.Nếu cho a=b=c=1 thì $8(a^{4}+b^{4}+c^{4})+11abc(a+b+c)=57$.Còn $(a+b+c)^{4}=81$ (Vô lí)

Sorry,mình đánh nhầm,chỗ đó là $19abc(a+b+c)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 13-07-2019 - 20:28