Ta có $(a+b+c)^4=a^4+b^4+c^4+12abc(a+b+c)+4ab(a^2+b^2)+4bc(b^2+c^2)+4ca(c^2+a^2)+6(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$
BĐT phải chứng minh là
$8(a^{4}+b^{4}+c^{4})+19abc(a+b+c)\geq a^4+b^4+c^4+12abc(a+b+c)+4ab(a^2+b^2)+4bc(b^2+c^2)+4ca(c^2+a^2)+6(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$
$\Leftrightarrow 7(a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c))\geq 4ab(a^2+b^2)+4bc(b^2+c^2)+4ca(c^2+a^2)+6(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$
Áp dụng BĐT Schur bậc 4 ta có $a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)\geq ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)$
$\Rightarrow VT\geq 7(ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2))=4(ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2))+3(ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2))\geq 4(ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2))+6(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=VP$
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c hoặc a=b,c=0 và các hoán vị
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phongmaths: 14-07-2019 - 10:44