Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

4($\sum \frac{1}{a+b})-\sum \frac{1}{a}\leqslant \frac{9}{a+b+c}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 29 trả lời

#21 phongmaths

phongmaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 64 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hóa
  • Sở thích:xem anime, làm toán, chơi game, đọc sách

Đã gửi 14-07-2019 - 10:44

Ta có $(a+b+c)^4=a^4+b^4+c^4+12abc(a+b+c)+4ab(a^2+b^2)+4bc(b^2+c^2)+4ca(c^2+a^2)+6(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

BĐT phải chứng minh là 

$8(a^{4}+b^{4}+c^{4})+19abc(a+b+c)\geq a^4+b^4+c^4+12abc(a+b+c)+4ab(a^2+b^2)+4bc(b^2+c^2)+4ca(c^2+a^2)+6(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

$\Leftrightarrow 7(a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c))\geq 4ab(a^2+b^2)+4bc(b^2+c^2)+4ca(c^2+a^2)+6(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

Áp dụng BĐT Schur bậc 4 ta có $a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)\geq ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)$

$\Rightarrow VT\geq 7(ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2))=4(ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2))+3(ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2))\geq 4(ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2))+6(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=VP$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c  hoặc a=b,c=0 và các hoán vị


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phongmaths: 14-07-2019 - 10:44


#22 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-07-2019 - 20:56

CMR với mọi a,b,c dương ta có BĐT :

$\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\geq \frac{a}{a^{2}+bc}+\frac{b}{b^{2}+ca}+\frac{c}{c^{2}+ab}$



#23 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-07-2019 - 20:59

Cho các số thực không âm x,y,z có tổng bằng 2.CMR: $(x^{2}+xy+y^{2})(y^{2}+yz+z^{2})(z^{2}+zx+x^{2})\leq 3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 19-07-2019 - 21:00


#24 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-07-2019 - 21:02

Tìm hệ số k tốt nhất để BĐT sau đúng với mọi a,b,c không âm: $(a+b+c)^{3}\geq k\left |(a-b)(b-c)(c-a) \right |$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 21-07-2019 - 20:44


#25 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-07-2019 - 21:49

Cho a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn $(a-b)(a-c)=1$ . Tìm min của $S=\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 19-07-2019 - 21:50


#26 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-07-2019 - 22:17

Cho a,b,c không âm thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc= 4$ . Chứng minh rằng: $0\leq ab+bc+ca-abc\leq 2$

VT: Ta thấy trong a,b,c có 1 số $\leq 1$, bởi nếu ngược lại thì $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc> 4$ ,trái với giả thiết. KMTTQ, giả sử $c\leq 1$.

Thế thì $ab+bc+ca-abc=ab(1-c)+c(a+b)\geq 0$. Dấu bằng xảy ra khi $a=2,b=c=0$ và các hoán vị.

VP: Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại 2 số cùng $\geq 1$ hoặc $\leq 1$,giả sử đó là  a và b. Thế thì $(a-1)(b-1)\geq 0$ hay $-c(a-1)(b-1)\leq 0$

Coi giả thiết là PT bậc 2 với c, ta tìm được $c=\frac{\sqrt{(4-a^{2})(4-b^{2})}-ab}{2}$ (do $c\geq 0$).

Ta có : $ab+bc+ca-abc= -c(a-1)(b-1)+c+ab\leq c+ab=\frac{\sqrt{(4-a^{2})(4-b^{2})}+ab}{2}$

Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz : $\frac{\sqrt{(4-a^{2})(4-b^{2})}+ab}{2}\leq \frac{\sqrt{(4-a^{2}+a^{2})(4-b^{2}+b^{2})}}{2}=2$.

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$ hoặc $a=b=\sqrt{2},c=0$ và các hoán vị.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 20-07-2019 - 22:19


#27 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-07-2019 - 22:08

CMR bất đẳng thức sau đúng với mọi số a,b,c không âm

$27(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})+148abcd\geq (a+b+c+d)^{4}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 21-07-2019 - 22:09


#28 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-07-2019 - 20:31

Cho a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn $(a-b)(a-c)=1$ . Tìm min của $S=\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}$

Đặt $a-b=x;a-c=y\Rightarrow b-c=y-x;xy=1;x\neq y$.

$\Rightarrow S=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{(x-y)^{2}}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}-2}$ (do $xy=1$) $=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2}$.

Đặt $t=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ ($t> 2$ do $x\neq y=\frac{1}{x}$).

Ta có: $S=t+\frac{1}{t-2}=(t-2)+\frac{1}{t-2}+2\geq 4$ (theo AM-GM)

Dấu bằng xảy ra khi chẳng hạn, $a=0,b=\frac{1+\sqrt{5}}{2},c=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$.

Vậy $minS=4$ khi chẳng hạn, $a=0,b=\frac{1+\sqrt{5}}{2},c=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$.



#29 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 03-09-2019 - 21:43

Cho $a,b,c>0$. CMR: $\sum_{cyc}\frac{a^{4}}{a^{3}+b^{3}}\geq \frac{a+b+c}{2}$



#30 PDF

PDF

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-09-2019 - 20:28

Cho $x,y,z\geq 0$. CMR : $\frac{xy+yz+zx}{(x+y+z)^{2}}\leq \sum_{cyc}\frac{x}{7x+y+z}\leq \frac{1}{3}$






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh