Đến nội dung

Hình ảnh

4($\sum \frac{1}{a+b})-\sum \frac{1}{a}\leqslant \frac{9}{a+b+c}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 27 trả lời

#21
phongmaths

phongmaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 59 Bài viết

Ta có $(a+b+c)^4=a^4+b^4+c^4+12abc(a+b+c)+4ab(a^2+b^2)+4bc(b^2+c^2)+4ca(c^2+a^2)+6(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

BĐT phải chứng minh là 

$8(a^{4}+b^{4}+c^{4})+19abc(a+b+c)\geq a^4+b^4+c^4+12abc(a+b+c)+4ab(a^2+b^2)+4bc(b^2+c^2)+4ca(c^2+a^2)+6(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

$\Leftrightarrow 7(a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c))\geq 4ab(a^2+b^2)+4bc(b^2+c^2)+4ca(c^2+a^2)+6(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$

Áp dụng BĐT Schur bậc 4 ta có $a^4+b^4+c^4+abc(a+b+c)\geq ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2)$

$\Rightarrow VT\geq 7(ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2))=4(ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2))+3(ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2))\geq 4(ab(a^2+b^2)+bc(b^2+c^2)+ca(c^2+a^2))+6(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)=VP$

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c  hoặc a=b,c=0 và các hoán vị


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phongmaths: 14-07-2019 - 10:44


#22
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

CMR với mọi a,b,c dương ta có BĐT :

$\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\geq \frac{a}{a^{2}+bc}+\frac{b}{b^{2}+ca}+\frac{c}{c^{2}+ab}$



#23
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

Cho các số thực không âm x,y,z có tổng bằng 2.CMR: $(x^{2}+xy+y^{2})(y^{2}+yz+z^{2})(z^{2}+zx+x^{2})\leq 3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 19-07-2019 - 21:00


#24
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

Tìm hệ số k tốt nhất để BĐT sau đúng với mọi a,b,c không âm: $(a+b+c)^{3}\geq k\left |(a-b)(b-c)(c-a) \right |$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 21-07-2019 - 20:44


#25
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

Cho a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn $(a-b)(a-c)=1$ . Tìm min của $S=\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 19-07-2019 - 21:50


#26
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

Cho a,b,c không âm thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc= 4$ . Chứng minh rằng: $0\leq ab+bc+ca-abc\leq 2$

VT: Ta thấy trong a,b,c có 1 số $\leq 1$, bởi nếu ngược lại thì $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc> 4$ ,trái với giả thiết. KMTTQ, giả sử $c\leq 1$.

Thế thì $ab+bc+ca-abc=ab(1-c)+c(a+b)\geq 0$. Dấu bằng xảy ra khi $a=2,b=c=0$ và các hoán vị.

VP: Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại 2 số cùng $\geq 1$ hoặc $\leq 1$,giả sử đó là  a và b. Thế thì $(a-1)(b-1)\geq 0$ hay $-c(a-1)(b-1)\leq 0$

Coi giả thiết là PT bậc 2 với c, ta tìm được $c=\frac{\sqrt{(4-a^{2})(4-b^{2})}-ab}{2}$ (do $c\geq 0$).

Ta có : $ab+bc+ca-abc= -c(a-1)(b-1)+c+ab\leq c+ab=\frac{\sqrt{(4-a^{2})(4-b^{2})}+ab}{2}$

Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz : $\frac{\sqrt{(4-a^{2})(4-b^{2})}+ab}{2}\leq \frac{\sqrt{(4-a^{2}+a^{2})(4-b^{2}+b^{2})}}{2}=2$.

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$ hoặc $a=b=\sqrt{2},c=0$ và các hoán vị.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 20-07-2019 - 22:19


#27
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

CMR bất đẳng thức sau đúng với mọi số a,b,c không âm

$27(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})+148abcd\geq (a+b+c+d)^{4}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 21-07-2019 - 22:09


#28
PDF

PDF

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 197 Bài viết

Cho a,b,c đôi một khác nhau thỏa mãn $(a-b)(a-c)=1$ . Tìm min của $S=\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}$

Đặt $a-b=x;a-c=y\Rightarrow b-c=y-x;xy=1;x\neq y$.

$\Rightarrow S=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{(x-y)^{2}}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}+y^{2}-2}$ (do $xy=1$) $=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}-2}$.

Đặt $t=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ ($t> 2$ do $x\neq y=\frac{1}{x}$).

Ta có: $S=t+\frac{1}{t-2}=(t-2)+\frac{1}{t-2}+2\geq 4$ (theo AM-GM)

Dấu bằng xảy ra khi chẳng hạn, $a=0,b=\frac{1+\sqrt{5}}{2},c=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$.

Vậy $minS=4$ khi chẳng hạn, $a=0,b=\frac{1+\sqrt{5}}{2},c=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh