cho a,b,c>0
abc=1 .tìm mãx
$P=\frac{1}{a^4+b^4+c}+\frac{1}{a^4+c^4+b}+\frac{1}{b^4+c^4+a}$
cho a,b,c>0
abc=1 .tìm mãx
$P=\frac{1}{a^4+b^4+c}+\frac{1}{a^4+c^4+b}+\frac{1}{b^4+c^4+a}$
Ta chứng minh BĐT sau : $ a^4 + b^4 \geq ab.(a+b). $
Thật vậy: $ a^4 + b^4 \geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2} = \frac{(a^2+b^2)(a^2+b^2)}{2} \geq \frac{2ab.(a^2+b^2)}{2} = ab. (a+b) $
Áp dụng ta có :
$ P \leq\frac{1}{ab(a^2+b^2)+c} + \frac{1}{bc(b^2+c^2)+a} + \frac{1}{ac.(a^2+c^2)+b} = \frac{1}{\frac{a^2+b^2}{c}+c}+ \frac{1}{\frac{b^2+c^2}{a}+a} + \frac{1}{\frac{a^2+c^2}{b}+b} = \frac{c}{a^2+b^2+c^2} + \frac{a}{a^2+b^2+c^2} + \frac{b}{a^2+b^2+c^2} = \frac{a+b+c}{a^2+b^2+c^2} \leq \frac{3(a+b+c)}{(a+b+c)^2} = \frac{3}{a+b+c} \leq \frac{3}{3.\sqrt[3]{abc}} =1 $
Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=1$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh