Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1.CMR $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{abc}\geq 30$
$\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{abc}\geq 30$
#1
Đã gửi 01-05-2019 - 13:37
#2
Đã gửi 01-05-2019 - 15:30
Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=1.CMR $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{abc}\geq 30$
VT= $\frac{1}{1-2(ab+bc+ac)}+\frac{1}{abc}\geq \frac{1}{1-6\sqrt[3]{(abc)^2}}+\frac{1}{abc}=\frac{1}{1-6t^2}+\frac{1}{t^3}$
$=\frac{1}{1-6t^2}+\frac{1}{9t^3}+....+\frac{1}{9t^3}\geq \frac{100}{1-6t^2+81t^3}$
Có $\frac{100}{1-6t^2+81t^3}\geq 30 <=> 243t^3-18t^2-7\leq 0 <=> (3t-1)(81t^2+21t+7)\leq 0$ (luôn đúng)
$t=\sqrt[3]{abc}$ ($0< t\leq \frac{1}{3}$)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buingoctu: 01-05-2019 - 15:31
- thanhdatqv2003, Sin99, Love is color primrose và 1 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 02-05-2019 - 21:56
VT= $\frac{1}{1-2(ab+bc+ac)}+\frac{1}{abc}\geq \frac{1}{1-6\sqrt[3]{(abc)^2}}+\frac{1}{abc}=\frac{1}{1-6t^2}+\frac{1}{t^3}$
$=\frac{1}{1-6t^2}+\frac{1}{9t^3}+....+\frac{1}{9t^3}\geq \frac{100}{1-6t^2+81t^3}$
Có $\frac{100}{1-6t^2+81t^3}\geq 30 <=> 243t^3-18t^2-7\leq 0 <=> (3t-1)(81t^2+21t+7)\leq 0$ (luôn đúng)
$t=\sqrt[3]{abc}$ ($0< t\leq \frac{1}{3}$)
Xem thử cách 2, có lẽ m cũng biết rồi Dùng cái này có lẽ dễ dàng hơn
Ta có $VT= \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{a+b+c}{abc}=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac})\geqslant \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{9}{ab+bc+ac}=(\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{ab+bc+ac})+\frac{7}{ab+bc+ac}\geqslant \frac{9}{(a+b+c)^{2}}+\frac{7}{\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}=9+21=30$ (đpcm)
- DOTOANNANG, buingoctu, Sin99 và 1 người khác yêu thích
[Không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y, và z thoả mãn xn + yn = zn trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2.] (FERMAT)
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh