Chủ đề này có 1 trả lời

[DOTOANNANG]

$a,\,b,\,c,\,d> 0,\,a^{\,3}+ b^{\,3}+ 3\,ab= c+ d= 1$$.$ Chứng minh rằng$:$

$$\left (  a+ \frac{1}{a} \right )^{\,3}+ \left (  b+ \frac{1}{b} \right )^{\,3}+ \left (  c+ \frac{1}{c} \right )^{\,3}+ \left (  d+ \frac{1}{d} \right )^{\,3}\geqq \frac{125}{2}$$

M O

$\it{2003}$

[WaduPunch]

Ta có: $a^{3}+b^{3}+3ab=1 <=> \left ( a+b \right )^{3}-1-3ab(a+b-1)=0 <=> a+b =1$ (vì $a, b>0$)

Khi đó: $(a+\frac{1}{a})^{3}+(b+\frac{1}{b})^{3}\geq \frac{1}{4}(a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b})^{3}=\frac{1}{4}(a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^{3}=\frac{1}{4}(1+\frac{1}{ab})^{3}\geq \frac{1}{4}(1+\frac{4}{(a+b)^{2}})^{3}=\frac{125}{4}$

Chứng minh tương tự với c, d. Ta có đpcm