Chủ đề này có 1 trả lời

[thuytdvp]

Cho số phức z không phải số thực và $\frac{z^{2}-2z+4}{z^{2}+2z+4}$ là số thực. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn:

                  $\left | z+\bar{z} \right | +\left | z-\bar{z} \right | = \left | z^{2} \right |$

 

[chanhquocnghiem]

Cho số phức z không phải số thực và $\frac{z^{2}-2z+4}{z^{2}+2z+4}$ là số thực. Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn:

                  $\left | z+\bar{z} \right | +\left | z-\bar{z} \right | = \left | z^{2} \right |$

Đặt $z=a+bi$ (với $b\neq 0$ vì $z\notin \mathbb{R}$)

$\frac{z^2-2z+4}{z^2+2z+4}\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \frac{4z}{z^2+2z+4}\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \frac{z^2+2z+4}{z}\in\mathbb{R}\Leftrightarrow z+\frac{4}{z}\in\mathbb{R}$

$\Leftrightarrow a+bi+\frac{4}{a+bi}\in\mathbb{R}\Leftrightarrow a+bi+\frac{4(a-bi)}{a^2+b^2}\in\mathbb{R}\Leftrightarrow b(a^2+b^2-4)=0\Leftrightarrow a^2+b^2=4$

$|z+\overline{z}|+|z-\overline{z}|=|z^2|\Leftrightarrow 2a+2b=|a^2-b^2+2abi|=\sqrt{(a^2-b^2)^2+4a^2b^2}=a^2+b^2$

Từ đó ta có :

$\left\{\begin{matrix}b\neq 0\\a^2+b^2=4\\2(a+b)=a^2+b^2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}b\neq 0\\a^2+b^2=4\\a+b=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=0\\b=2 \end{matrix}\right.$

Vậy chỉ có $1$ số phức thỏa mãn điều kiện đề bài là $z=2i$.