Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Chứng minh


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 longnonngonhonlongga

longnonngonhonlongga

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 11 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Đá bóng, các môn thể thao

Đã gửi 10-05-2019 - 14:47

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >= 3/2

 


 


 


 



#2 Tran Thanh Phuong

Tran Thanh Phuong

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 15 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:Thích đủ thứ ><

Đã gửi 10-05-2019 - 21:58

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

<=>$\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{a+b}\geq \frac{3}{2}+3$

<=>$(a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b})\geq \frac{9}{2}$

<=>$(b+c+a+c+a+b)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b})\geq 9$

Áp dụng bất đẳng thức phụ $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$ ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra <=> $a=b=c$


๖ۣۜT๖ۣۜP๖ۣۜQ - ๖ۣۜM๖ۣۜY ๖ۣۜL๖ۣۜO๖ۣۜV๖ۣۜE

 

 

“You are the source of my joy, the center of my world and the whole of my heart.” 

 


#3 nguyendinhnguyentoan9

nguyendinhnguyentoan9

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 39 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Mỹ Chánh-Phù Mỹ-Bình Định
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 15-05-2019 - 20:20

cách này cũng hay đó nhưng bạn dùng bđt Nesbit là nhanh rồi



#4 zZzCool KidzZz

zZzCool KidzZz

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 21-05-2019 - 20:35

Cách anh Phương rất hay ạ! Có cách khác nữa là đặt a+ b = x; b + c = y; c+ a = z rồi làm tiếp.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zZzCool KidzZz: 21-05-2019 - 20:36


#5 tthnew

tthnew

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Đã gửi 21-05-2019 - 20:37

Có lẽ còn cách này nữa ạ.Sao em cứ gửi nhầm bằng níc của Cool Kid hoài nhỉ!

BĐT $\Leftrightarrow (\frac{a}{b+c} - \frac{1}{2} ) + (\frac{b}{c+a} - \frac{1}{2}) + (\frac{c}{a+b} - \frac{1}{2}) \geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{(a-b)+(a-c)}{2(b+c)} + \frac{(b-c)+(b-a)}{2(c+a)} + \frac{(c-a)+(c-b)}{2(a+b)} \geq 0$

$\Leftrightarrow [\frac{(a-b)}{2(b+c)}+\frac{b-a}{2(c+a)}]+[\frac{(b-c)}{2(c+a)}+\frac{c-b}{2(a+b)}]+[\frac{(c-a)}{2(a+b)}+\frac{a-c}{2(b+c)}] \geq 0$

$\Leftrightarrow [\frac{(a-b)}{2(b+c)}-\frac{a-b}{2(c+a)}]+[\frac{(b-c)}{2(c+a)}-\frac{b-c}{2(a+b)}]+[\frac{(c-a)}{2(a+b)}-\frac{c-a}{2(b+c)}] \geq 0$

Rút thừa số chung ra ở mỗi cái ngoặc vuông ra và quy đồng lên,ta cần chứng minh:

$\frac{(a-b)^2}{2(b+c)(c+a)} + \frac{(b-c)^2}{2(c+a)(a+b)} + \frac{(c-a)^2}{2(a+b)(b+c)}\geq 0$ (1)

Do a,b,c là các số dương. Nên mỗi cái mẫu của mỗi phân thức luôn là số dương. Do đó BĐT (1) đúng. 

Ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra tại a = b = c.

BĐT trên hình như có tên gọi là BĐT Nesbitt thì phải ạ!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 21-05-2019 - 20:38


#6 tthnew

tthnew

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Đã gửi 21-05-2019 - 20:39

Cách anh Phương rất hay ạ! Có cách khác nữa là đặt a+ b = x; b + c = y; c+ a = z rồi làm tiếp.

P/s: Cái này là em ấn nhầm sang níc bạn ấy và quên đăng xuất nha!






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh