Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Chứng minh


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 longnonngonhonlongga

longnonngonhonlongga

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 11 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Đá bóng, các môn thể thao

Đã gửi 10-05-2019 - 14:47

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >= 3/2

 


 


 


 



#2 Tran Thanh Phuong

Tran Thanh Phuong

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 30 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Dương
  • Sở thích:Toán

Đã gửi 10-05-2019 - 21:58

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

<=>$\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{a+b}\geq \frac{3}{2}+3$

<=>$(a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b})\geq \frac{9}{2}$

<=>$(b+c+a+c+a+b)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b})\geq 9$

Áp dụng bất đẳng thức phụ $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$ ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra <=> $a=b=c$


CNT


#3 nguyendinhnguyentoan9

nguyendinhnguyentoan9

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 109 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định
  • Sở thích:Thích học toán,Thích đọc thơ ngôn từ,thích dùng ngôn từ đẻ giải toán

Đã gửi 15-05-2019 - 20:20

cách này cũng hay đó nhưng bạn dùng bđt Nesbit là nhanh rồi


I am never die

 


#4 zZzCool KidzZz

zZzCool KidzZz

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 21-05-2019 - 20:35

Cách anh Phương rất hay ạ! Có cách khác nữa là đặt a+ b = x; b + c = y; c+ a = z rồi làm tiếp.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zZzCool KidzZz: 21-05-2019 - 20:36


#5 tthnew

tthnew

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nơi nào...
  • Sở thích:Đọc sách, phân tích bình phương sos, chứng minh BĐT, v.v...

Đã gửi 21-05-2019 - 20:37

Có lẽ còn cách này nữa ạ.Sao em cứ gửi nhầm bằng níc của Cool Kid hoài nhỉ!

BĐT $\Leftrightarrow (\frac{a}{b+c} - \frac{1}{2} ) + (\frac{b}{c+a} - \frac{1}{2}) + (\frac{c}{a+b} - \frac{1}{2}) \geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{(a-b)+(a-c)}{2(b+c)} + \frac{(b-c)+(b-a)}{2(c+a)} + \frac{(c-a)+(c-b)}{2(a+b)} \geq 0$

$\Leftrightarrow [\frac{(a-b)}{2(b+c)}+\frac{b-a}{2(c+a)}]+[\frac{(b-c)}{2(c+a)}+\frac{c-b}{2(a+b)}]+[\frac{(c-a)}{2(a+b)}+\frac{a-c}{2(b+c)}] \geq 0$

$\Leftrightarrow [\frac{(a-b)}{2(b+c)}-\frac{a-b}{2(c+a)}]+[\frac{(b-c)}{2(c+a)}-\frac{b-c}{2(a+b)}]+[\frac{(c-a)}{2(a+b)}-\frac{c-a}{2(b+c)}] \geq 0$

Rút thừa số chung ra ở mỗi cái ngoặc vuông ra và quy đồng lên,ta cần chứng minh:

$\frac{(a-b)^2}{2(b+c)(c+a)} + \frac{(b-c)^2}{2(c+a)(a+b)} + \frac{(c-a)^2}{2(a+b)(b+c)}\geq 0$ (1)

Do a,b,c là các số dương. Nên mỗi cái mẫu của mỗi phân thức luôn là số dương. Do đó BĐT (1) đúng. 

Ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra tại a = b = c.

BĐT trên hình như có tên gọi là BĐT Nesbitt thì phải ạ!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 21-05-2019 - 20:38


#6 tthnew

tthnew

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nơi nào...
  • Sở thích:Đọc sách, phân tích bình phương sos, chứng minh BĐT, v.v...

Đã gửi 21-05-2019 - 20:39

Cách anh Phương rất hay ạ! Có cách khác nữa là đặt a+ b = x; b + c = y; c+ a = z rồi làm tiếp.

P/s: Cái này là em ấn nhầm sang níc bạn ấy và quên đăng xuất nha!






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh