Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >= 3/2
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) >= 3/2
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$
<=>$\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{a+b}\geq \frac{3}{2}+3$
<=>$(a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b})\geq \frac{9}{2}$
<=>$(b+c+a+c+a+b)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b})\geq 9$
Áp dụng bất đẳng thức phụ $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 9$ ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> $a=b=c$
cách này cũng hay đó nhưng bạn dùng bđt Nesbit là nhanh rồi
Đừng thở dài
Hãy vươn vai mà sống
Bùn dưới chân
Nhưng nắng ở trên đầu
Fact but real
Cách anh Phương rất hay ạ! Có cách khác nữa là đặt a+ b = x; b + c = y; c+ a = z rồi làm tiếp.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zZzCool KidzZz: 21-05-2019 - 20:36
Có lẽ còn cách này nữa ạ.Sao em cứ gửi nhầm bằng níc của Cool Kid hoài nhỉ!
BĐT $\Leftrightarrow (\frac{a}{b+c} - \frac{1}{2} ) + (\frac{b}{c+a} - \frac{1}{2}) + (\frac{c}{a+b} - \frac{1}{2}) \geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{(a-b)+(a-c)}{2(b+c)} + \frac{(b-c)+(b-a)}{2(c+a)} + \frac{(c-a)+(c-b)}{2(a+b)} \geq 0$
$\Leftrightarrow [\frac{(a-b)}{2(b+c)}+\frac{b-a}{2(c+a)}]+[\frac{(b-c)}{2(c+a)}+\frac{c-b}{2(a+b)}]+[\frac{(c-a)}{2(a+b)}+\frac{a-c}{2(b+c)}] \geq 0$
$\Leftrightarrow [\frac{(a-b)}{2(b+c)}-\frac{a-b}{2(c+a)}]+[\frac{(b-c)}{2(c+a)}-\frac{b-c}{2(a+b)}]+[\frac{(c-a)}{2(a+b)}-\frac{c-a}{2(b+c)}] \geq 0$
Rút thừa số chung ra ở mỗi cái ngoặc vuông ra và quy đồng lên,ta cần chứng minh:
$\frac{(a-b)^2}{2(b+c)(c+a)} + \frac{(b-c)^2}{2(c+a)(a+b)} + \frac{(c-a)^2}{2(a+b)(b+c)}\geq 0$ (1)
Do a,b,c là các số dương. Nên mỗi cái mẫu của mỗi phân thức luôn là số dương. Do đó BĐT (1) đúng.
Ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra tại a = b = c.
BĐT trên hình như có tên gọi là BĐT Nesbitt thì phải ạ!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 21-05-2019 - 20:38
Cách anh Phương rất hay ạ! Có cách khác nữa là đặt a+ b = x; b + c = y; c+ a = z rồi làm tiếp.
P/s: Cái này là em ấn nhầm sang níc bạn ấy và quên đăng xuất nha!
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh