Chủ đề này có 1 trả lời

[longnonngonhonlongga]

[Marshmello]

Bài 5 : 

Ta có : a + b + c + ab + bc + ac = 6abc

=> 1/ab + 1/bc + 1/ac + 1/a + 1/b + 1/c = 6

Đặt 1/a = x ; 1/b = y ; 1/c = z ( x ; y ; z dương ) 

Đề bài đã cho trở thành : Cho x ; y ; z dương thỏa mãn : 

x + y + z + xy + yz + xz = 6

C/m : x^2 + y^2 + z^2 >= 3

AD BĐT Cô - si cho các cặp số dương , ta có : 

x^2 + 1 >= 2x ; y^2 + 1 >= 2y ; z^2 + 1 >= 2z

=> x^2 + y^2 + z^2 + 3 / 2  >= (x+y+z)(1) 

Tiếp tục AD BĐT Cô - si , ta có : 

x^2 + y^2 >= 2xy ; y^2 + z^2 >= 2yz ; x^2 + z^2 >= 2xz

=> 2(x^2+y^2+z^2) >= 2xy + 2yz + 2xz

=> x^2 + y^2 + z^2 >= xy + yz + xz (2)

Từ (1) ; (2)

=> 3(x^2+y^2+z^2+1)/2   >= xy + yz + xz + x + y +z = 6

=> x^2 + y^2 + z^2 + 1 >= 4

=> x^2 + y^2 + z^2 >= 3

hay 1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 >= 3 

Dấu " = " xảy ra <=> x = y = z = 1 

<=> a = b = c = 1