Chủ đề này có 1 trả lời

[Gaconganhteam]

Tìm tất cả các số x, y nguyên dương sau cho x²+3y và y²+3x là số chính phương

 

[tritanngo99]

Tìm tất cả các số x, y nguyên dương sau cho x²+3y và y²+3x là số chính phương

Lời giải: Do $x,y>0\implies x^2+3y>x^2$ và $y^2+3x>y^2$.

Vì $x^2+3y$ và $y^2+3x$ là các số chính phương nên ta có thể giả sử rằng: $x^2+3y=(x+a)^2(a>0)$ và $y^2+3x=(y+b)^2(b>0)$.

Biến đổi tương đương hai phương trình trên ta được: $3y-2xa=a^2(1)$ và $3x-2by=b^2(2)$.

Từ $(1)$ và $(2)$, ta suy ra được: $y=\frac{3a^2+2ab^2}{9-4ab}$.

Vì $y>0\implies 9-4ab>0\implies ab<\frac{9}{4}\implies ab=2\text{ hoặc }ab=1$.

+Với $ab=2\implies a=2\text{ và } b=1\text{ hoặc }a=1\text{ và }b=2$. Từ đây ta tìm được $(x;y)=(16,11),(11,16)$.

+Với $ab=1\implies a=1\text{ và }b=1$. Từ đây ta tìm được $(x;y)=(1;1)$.

Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là: $(x;y)=(1;1),(16,11),(11,16)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 13-05-2019 - 04:47