Chủ đề này có 1 trả lời

[blink04]

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O,R).Đường cao AI,BK cắt nhau tại H.M là trung điểm BC.Vẽ HJ vuông góc AM.Cmr:MJ.MA<R^2

a,Cmr AHJK nội tiếp và góc IHK=góc MJK

b,AJK đồng dạng ACM

c,CM MJ.MA<R^2

  

[tritanngo99]

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O,R).Đường cao AI,BK cắt nhau tại H.M là trung điểm BC.Vẽ HJ vuông góc AM.Cmr:MJ.MA<R^2

a,Cmr AHJK nội tiếp và góc IHK=góc MJK

b,AJK đồng dạng ACM

c,CM MJ.MA<R^2

Lời giải:

a) Xét tứ giác $AHJK$ có $\angle{AKH}=\angle{AJH}=90^0$, nên ta suy ra được tứ giác $AHJK$ là tứ giác nội tiếp.

Từ đây ta suy ra được: $\angle{AHK}=\angle{AJK}\implies 180^0-\angle{AHK}=180^0-\angle{AJK}\iff \angle{IHK}=\angle{MJK}$.

b) Ta có: $\angle{AHK}=\angle{AJK}$, mà $\angle{AHK}=\angle{ACI}$ (do cùng phụ với $\angle{HAC}$) nên ta suy ra được: $\angle{AJK}=\angle{ACM}$.

Xét $\triangle{AJK}$ và $\triangle{ACM}$ có $\angle{AJK}=\angle{ACM}$ và $\angle{JAK}=\angle{MAC}$.

$\implies \triangle{AJK}\sim\triangle{ACM}(g.g)$

c) Đầu tiên ta sẽ đi chứng minh $MJ.MA=MK^2$.

Trước tiên ta đi chứng minh: $\angle{JKM}=\angle{MAK}$, thật vậy:

Ta có: $\angle{JKM}=\angle{HKM}-\angle{HKJ}$. Mà $\angle{HKM}=\angle{MBK}=\angle{HAK}$ và $\angle{HKJ}=\angle{HAJ}$. Nên từ đây ta suy ra được: $\angle{JKM}=\angle{HAK}-\angle{HAJ}=\angle{MAK}$.

Từ đây ta dễ dàng suy ra được: $\triangle{MKJ}\sim \triangle{MAK}(g.g)\implies \frac{MK}{MJ}=\frac{MA}{MK}\implies MK^2=MJ.MA$.

Mặt khác: $MK=MB=MC<OC=R$.

$\implies MJ.MA=MK^2<R^2$. Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 14-05-2019 - 05:08