Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

chứng minh $\sum \frac{a^{2}+bc}{a^{2}+(b+c)^{2}}\leq \frac{18}{5}.\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{(a+b+c)^

cauchy-schwazt bunhicopxki cô-si kỹ thuật thêm bớt bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 nguyen minh hieu hp

nguyen minh hieu hp

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 26 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hải Phòng

Đã gửi 13-05-2019 - 21:55

Cho a,b,c>0.Chứng minh bất đẳng thức:

$\sum \frac{a^{2}+bc}{a^{2}+(b+c)^{2}}\leq \frac{18}{5}.\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{(a+b+c)^{2}}$



#2 bangvoip673

bangvoip673

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 40 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-07-2019 - 10:41

ko quen đánh latex nên gửi ảnh

Hình gửi kèm

  • Chưa có tên.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangvoip673: 09-07-2019 - 10:45


#3 Sugar

Sugar

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 21 Bài viết

Đã gửi 09-07-2019 - 12:24

Một cách khác.

Bất đẳng thức trên tương đương với

$\sum_{cyc} \frac{(b+c)^2-bc}{a^2+(b+c)^2}+\frac{18}{5}\cdot\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}\geq 3$

Mà ta có $(b+c)^2\geq4bc$ nên ta có thể chứng minh

$\sum_{cyc} \frac{(b+c)^2-bc}{4[a^2+(b+c)^2]}+\frac{6}{5}\cdot\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}\geq 1$

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có:

$\sum\frac{(b+c)^2}{4[a^2+(b+c)^2]}\geq\frac{(a+b+c)^2}{\sum(a^2+(b+c)^2)}=\frac{(a+b+c)^2}{2(a^2+b^2+c^2)+(a+b+c)^2}$

Từ đây, chuẩn hóa $a+b+c=1$ thì ta chỉ còn

$\frac{1}{2(a^2+b^2+c^2)+1}+\frac{6(a^2+b^2+c^2)}{5}\geq1$

Rút gọn, ta cần $(a^2+b^2+c^2)[3(a^2+b^2+c^2)-1]\geq0$. Thật vậy vì $3(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)^2=1$.



#4 Gammaths11

Gammaths11

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 55 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-07-2019 - 15:31

ko quen đánh latex nên gửi ảnh

anh bằng ghê v:







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: cauchy-schwazt, bunhicopxki, cô-si, kỹ thuật thêm bớt, bất đẳng thức

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh