Chủ đề này có 1 trả lời

[tungpro1z4]

Cho $a,b,c$ là các số nguyên thỏa mãn $a+b+c=0$ . Chứng minh $P=2(a^4+b^4+c^4)$ là số chính phương

[FireGhost]

Từ giả thiết: $$a+b+c=0$$

$$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0$$

$$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-2ab-2bc-2ca$$

$$\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^2=(-2ab-2bc-2ca)^2$$

$$\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^2=(2ab+2bc+2ca)^2$$

Ta có: $$a+b+c=0$$

$$\Leftrightarrow 8abc(a+b+c)=0$$

$$\Leftrightarrow 4a^2b^2+4b^2c^2+4c^2a^2+8a^2bc+8ab^2c+8abc^2=4a^2b^2+4b^2c^2+4c^2a^2$$

$$\Leftrightarrow (2ab+2bc+2ca)^2=4a^2b^2+4b^2c^2+4c^2a^2$$

$$\Leftrightarrow (a^2+b^2+c^2)^2=4a^2b^2+4b^2c^2+4c^2a^2$$

$$\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2$$

$$\Leftrightarrow 2(a^4+b^4+c^4)=a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2$$

$$\Leftrightarrow 2(a^4+b^4+c^4)=(a^2+b^2+c^2)^2$$

$\Rightarrow 2(a^4+b^4+c^4)$ là số chính phương.

 

Mong mọi người nhận xét cách trình bày của em để em rút kinh nghiệm khi đi thi ạ! Em cảm ơn ^^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi FireGhost: 19-05-2019 - 18:04