Chủ đề này có 1 trả lời

[caovannct]

ho hai số phức $z_{1},z_{2}$ khác 1 và -1 thỏa mãn $z_{1}^{44}=z_{2}^{58}=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $T=\left | z_{1}-z_{2} \right |$

[chanhquocnghiem]

ho hai số phức $z_{1},z_{2}$ khác 1 và -1 thỏa mãn $z_{1}^{44}=z_{2}^{58}=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $T=\left | z_{1}-z_{2} \right |$

$z_1$ có dạng $z_1=\cos\frac{m\pi}{22}+i\sin\frac{m\pi}{22}$ ($m\in \mathbb{Z},m\neq 22k,k\in\mathbb{Z}$)
$z_2$ có dạng $z_2=\cos\frac{n\pi}{29}+i\sin\frac{n\pi}{29}$ ($n\in \mathbb{Z},n\neq 29k,k\in\mathbb{Z}$)

$\Rightarrow z_1$ và $z_2$ được biểu diễn bằng những điểm $M_1$ và $M_2$ trên đường tròn có bán kính bằng đơn vị với :

$\varphi _1=\frac{m\pi}{22}$ ; $\varphi _2=\frac{n\pi}{29}$

$T=\left | z_1-z_2 \right |=\left | \overrightarrow{M_1M_2} \right |=M_1M_2$

$T$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow M_1M_2$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow \left | \frac{m\pi}{22}-\frac{n\pi}{29} \right |$ nhỏ nhất

$\Leftrightarrow |29m-22n|$ nhỏ nhất. Vậy có thể chọn $m=3$ ; $n=4$

Khi đó $\varphi _1=\frac{3\pi}{22}$ ; $\varphi _2=\frac{4\pi}{29}$. Và $T_{min}=2\sin\frac{\pi}{1276}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 18-05-2021 - 11:34