Chủ đề này có 1 trả lời

[vttPapyrus]

Cho tam giác $ABC$ nhọn ($AB<AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$, các đường cao $AD$, $BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$.

  a) Chứng minh tứ giác $AEHF$ và $BCEF$ nội tiếp.

  b) Hai đường thẳng $EF$ và $BC$ cắt nhau tại $M$. Chứng minh $MB\cdot MC = ME \cdot MF$.

  c) $AM$ cắt đường tròn $(O)$ tại $N$. Đường thẳng qua $B$ và song song với $AC$ cắt $AM$ tại $I$ và cắt $AH$ tại $K$. Chứng minh $AN \perp HN$ và $HI=HK$.

 

 

Nhờ quý thầy cô hỗ trợ câu c)

Hình gửi kèm

• 

[tritanngo99]

 

Cho tam giác $ABC$ nhọn ($AB<AC$) nội tiếp đường tròn $(O)$, các đường cao $AD$, $BE$ và $CF$ cắt nhau tại $H$.

  a) Chứng minh tứ giác $AEHF$ và $BCEF$ nội tiếp.

  b) Hai đường thẳng $EF$ và $BC$ cắt nhau tại $M$. Chứng minh $MB\cdot MC = ME \cdot MF$.

  c) $AM$ cắt đường tròn $(O)$ tại $N$. Đường thẳng qua $B$ và song song với $AC$ cắt $AM$ tại $I$ và cắt $AH$ tại $K$. Chứng minh $AN \perp HN$ và $HI=HK$.

 

 

Nhờ quý thầy cô hỗ trợ câu c)

 

Lời giải câu c:

Ý 1:

Ta có: Do tứ giác $ANBC$ nội tiếp nên ta dễ dàng chứng minh được: $MB.MC=MN.MA$.

Mặt khác $MB.MC=MF.ME$ (đã chứng minh câu b)

Nên từ đây ta suy ra được: $MN.MA=MF.ME$, đến đây ta dễ dàng suy ra được: Tứ giác $ANFE$ nội tiếp.

Từ đây ta suy ra được: $\angle{HNF}=\angle{HEF}(1)$ và $\angle{ANF}+\angle{AEF}=180(2)$.

Ta có $(2)\iff (\angle{ANH}+\angle{HNF})+(90^0-\angle{HEF})=180^0$, mà $\angle{HNF}=\angle{HEF}$ nên từ đây ta suy ra được: $\angle{ANH}=90^0$ hay $AN\bot NH$

Ý 2: Ta dễ dàng chứng minh được $IK\bot BH$, từ đây dễ dàng suy ra được: $\angle{IBH}=90^0$, từ đó suy ra tứ giác $INHB$ nội tiếp.

Từ đây, ta suy ra được: $\angle{BHI}=\angle{BNI}=\angle{ACD}=\angle{BHD}$.

$\implies HB$ là tia phân giác của góc $\angle{IHK}$.

Xét tam giác $IHK$ có $HB$ là đường phân giác đồng thời là đường cao nên tam giácc $IHK$ cân tại $H$. Từ đây ta suy ra được $HI=HK$.

Ta có điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 23-05-2019 - 18:23