Chủ đề này có 1 trả lời

[TuanMinhAms]

Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2 + 2(a+b+c) = (a+b)(b+c)(c+a)

Chứng minh rằng: 2(ab+bc+ca) <= a²(a+b) + b²(b+c) + c²(c+a)

            

[tritanngo99]

 

Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2 + 2(a+b+c) = (a+b)(b+c)(c+a)

Chứng minh rằng: 2(ab+bc+ca) <= a²(a+b) + b²(b+c) + c²(c+a)

 

Ta có: $2+2(a+b+c)=(a+b)(b+c)(c+a)\iff \frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{c+a+1}=1$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwart ta có: $1=\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{c+a+1}=\frac{a^2}{a^2(1+a+b)}+\frac{b^2}{b^2(1+b+c)}+\frac{c^2}{c^2(c+a+1)}\ge \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+a^2(a+b)+b^2(b+c)+c^2(c+a)}$

$\implies a^2+b^2+c^2+a^2(a+b)+b^2(b+c)+c^2(c+a)\ge (a+b+c)^2\iff a^2(a+b)+b^2(b+c)+c^2(c+a)\ge 2(ab+bc+ca)$.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Dấu $=$ xảy ra tại $a=b=1$.

Bạn chú ý đọc kĩ nội quy diễn đàn nhé:

• Hướng dẫn gửi bài trên diễn đàn
• Đặt tiêu đề đúng quy định
• Gõ công thức Toán
• Chọn Thích thay cho lời cảm ơn
• Báo cáo bài viết vi phạm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 27-05-2019 - 06:37