Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2 + 2(a+b+c) = (a+b)(b+c)(c+a)
#1
Đã gửi 27-05-2019 - 06:24
#2
Đã gửi 27-05-2019 - 06:35
Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2 + 2(a+b+c) = (a+b)(b+c)(c+a)
Chứng minh rằng: 2(ab+bc+ca) <= a2(a+b) + b2(b+c) + c2(c+a)
Ta có: $2+2(a+b+c)=(a+b)(b+c)(c+a)\iff \frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{c+a+1}=1$.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwart ta có: $1=\frac{1}{1+a+b}+\frac{1}{1+b+c}+\frac{1}{c+a+1}=\frac{a^2}{a^2(1+a+b)}+\frac{b^2}{b^2(1+b+c)}+\frac{c^2}{c^2(c+a+1)}\ge \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+a^2(a+b)+b^2(b+c)+c^2(c+a)}$
$\implies a^2+b^2+c^2+a^2(a+b)+b^2(b+c)+c^2(c+a)\ge (a+b+c)^2\iff a^2(a+b)+b^2(b+c)+c^2(c+a)\ge 2(ab+bc+ca)$.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Dấu $=$ xảy ra tại $a=b=1$.
Bạn chú ý đọc kĩ nội quy diễn đàn nhé:
- Hướng dẫn gửi bài trên diễn đàn
- Đặt tiêu đề đúng quy định
- Gõ công thức Toán
- Chọn Thích thay cho lời cảm ơn
- Báo cáo bài viết vi phạm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 27-05-2019 - 06:37
- DOTOANNANG, ThinhThinh123 và Gaconganhteam thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh