Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=3$. Biểu thức $P=x^{4}+y^{4}+8z^{4}$ đạt GTNN bằng $\frac{a}{b}$, trong đó $a,b$ là các số tự nhiên dương, $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a-b$
Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=3$
Bắt đầu bởi yeutoan2604, 31-05-2019 - 19:01
#1
Đã gửi 31-05-2019 - 19:01
yeutoan2604
-
- Thành viên
-
- 281 Bài viết
Thượng sĩ
- thanhdatqv2003 yêu thích
Nếu đường chỉ tay quyết định số phận của bạn thì hãy nhớ đường chỉ tay nằm trong lòng bàn tay của bạn
Isaac Newton
#2
Đã gửi 31-05-2019 - 23:07
huykinhcan99
-
- Điều hành viên OLYMPIC
-
- 336 Bài viết
Sĩ quan
Áp dụng bất đẳng thức $Holder$ ta có
\[\left(1+1+\dfrac{1}{2}\right)\left(1+1+\dfrac{1}{2}\right)\left(1+1+\dfrac{1}{2}\right)\left(x^4+y^4+8z^4\right)\geqslant \left(x+y+z\right)^4\]
Vậy ta có $x^4+y^4+8z^4\geqslant \dfrac{\left(x+y+z\right)^4}{\left(1+1+\dfrac{1}{2}\right)^3}=\dfrac{648}{125}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=2z=\dfrac{6}{5}$. Vậy $a=648$, $b=125$. Khi đó $a-b=523$.
- Baoriven và thanhdatqv2003 thích
$$\text{Vuong Lam Huy}$$
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
