Chủ đề này có 3 trả lời

[phongmaths]

Với a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

$P=\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}-\frac{1}{1+c^2}$

[hanguyen445]

We have $1+a^2=ab+bc+ac+a^2=(a+b)(a+c)$

Infer  $$P=\sum\dfrac{a}{(a+b)(a+c)}=\dfrac{2(ab+bc+ac)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$

Notice $$(a+b)(b+c)(c+a)\ge\dfrac{8}{9} (ab+bc+ac)(a+b+c)\ge\dfrac{8}{3} (ab+bc+ac)$$

So that  $$P\le\dfrac{3}{4}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanguyen445: 03-06-2019 - 16:25

[phongmaths]

We have $1+a^2=ab+bc+ac+a^2=(a+b)(a+c)$

Infer  $$P=\sum\dfrac{a}{(a+b)(a+c)}=\dfrac{2(ab+bc+ac)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$

Notice $$(a+b)(b+c)(c+a)\ge\dfrac{8}{9} (ab+bc+ac)(a+b+c)\ge\dfrac{8}{3} (ab+bc+ac)$$

So that  $$P\le\dfrac{3}{4}$$

đoạn đó phải là $P= \frac{a}{(a+b)(a+c)}+\frac{b}{(b+c)(b+a)}-\frac{1}{(c+a)(c+b)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phongmaths: 03-06-2019 - 19:08

[Marshmello]

Với a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

$P=\frac{a}{1+a^2}+\frac{b}{1+b^2}-\frac{1}{1+c^2}$

Do ab + bc + ac = 1 => (a+b)c = 1 - ab

=> c = 1-ab/a+b

=> c^2 + 1 = (a^2+1)(b^2+1)/(a+b)^2

=> 1/c^2+1 =  (a+b)^2/(a^2+1)(b^2+1)

Có : a/a^2+1  + b/b^2+1  - 1/c^2+1

= a/a^2+1  + b/b^2+1  -  (a+b)^2/(a^2+1)(b^2+1)

= a(b^2+1) + b(a^2+1) - (a+b)^2 / (a^2+1)(b^2+1)

= ab^2 + a + ba^2 + b - (a+b)^2 / (a^2+1)(b^2+1)

= (ab+1)(a+b) - (a+b)^2 / (a^2+1)(b^2+1)

= (a-1)(b-1)(a+b)/(a^2+1)(b^2+1)

Áp dụng BĐT Cô - si , ta có : 

(a-1)(b-1)(a+b) $\leq \frac{[(a-1)(b-1)+a+b]^2}{4} = \frac{(ab+1)^2}{4}$

(a^2+1)(b^2+1) $\geq (ab+1)^2$

$\Rightarrow P $\leq$\frac{1}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Marshmello: 03-06-2019 - 22:56