Chủ đề này có 1 trả lời

[toanND]

Cho tam giác ABC, các điểm E, F thuộc CA, AB sao cho B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn. Đường tròn (B, BE) cắt CA tại G khác E. Đường tròn (C, CF) cắt AB tại H khác F. Đường tròn (B, BE) cắt (C, CF) tại M, N. Chứng minh rằng FG, EH và MN đồng quy.

[Sugar]

Gọi $P=GF\cap (B,BE)$, $Q=HE\cap (C,CF)$, $I=GF\cap HE$.

Ta có được $\widehat{GPE}=90^o-\widehat{BEG}=90^o-\widehat{BEC}=90^o-\widehat{CFB}=90^o-\widehat{CFH}=\widehat{FQH}$, nên $P,Q,E,F$ đồng viên, nên $IF\cdot IP=IE\cdot IQ$.

Ngoài ra, $\widehat{AHC}=\widehat{FHC}=\widehat{CFB}=\widehat{BEC}=\widehat{BEG}=\widehat{BGE}=\widehat{AGB}$, nên $\triangle AHC ~ \triangle AGB$ nên $AH\cdot AB=AG\cdot AC$. Cũng như $AF\cdot AB=AE\cdot AC$. Vì vậy ta có $\frac{AF}{AH}=\frac{AE}{AG}$  hay $EF\parallel GH$ suy ra $\frac{GI}{IF}=\frac{HI}{IE}$ nên $GI\cdot IP=HI\cdot IQ$.

Vậy $I$ nằm trên trục đẳng phương của $(B,BE)$ và $(C,CF)$ nên $M,I,N$ thẳng hàng.