cho a,b,c>0 CMR: $\left ( 1+\frac{1}{a} \right )^{4}+\left ( 1+\frac{1}{b} \right )^{4}+\left ( 1+\frac{1}{c} \right )^{4}\geq 3\left ( 1+\frac{3}{2+abc} \right )^{4}$
BĐT
#1
Đã gửi 05-06-2019 - 10:19
#2
Đã gửi 07-06-2019 - 00:24
$[\sum (1+\frac{1}{a})^{4}](1+1+1)(1+1+1)(1+1+1)\geq (3+\sum \frac{1}{a})^{4}$ (Holder)
BDT <=> $(3+\sum \frac{1}{a})^{4} \geq 3^{4}(1+\frac{3}{2+abc})^{4}$
<=> $3+\sum \frac{1}{a}\geq 3(1+\frac{3}{2+abc})$ (do vt vp ko âm)
<=> $\frac{ab+bc+ac}{abc} \geq \frac{9}{2+abc}$
<=>$2\sum ab + \sum a^{2}b^{2}c \geq 9abc$
Hiển nhiên do ab+bc+$a^{2}c^{2}b \geq 3abc$ (AM-GM 3 số )
Thiết lập các bdt tương tự
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vmf999: 07-06-2019 - 00:30
- thanhdatqv2003 yêu thích
#3
Đã gửi 07-06-2019 - 20:41
VT$\geq 3 \sqrt[3]{\sum \left ( 1+\frac{1}{a} \right )^{4}}$
xét $\sum \left ( 1+\frac{1}{a} \right )=1+\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )+\left ( \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac} \right )+\frac{1}{abc}\geq 1+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}+3\sqrt[3]{\frac{1}{(abc)^{2}}}+\frac{1}{abc}=\left ( 1+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}} \right )^{3}$
=>VT$3\left ( 1+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}} \right )^{4}\geq 3\left ( 1+\frac{3}{2+abc} \right )^{4}$
- thanhdatqv2003 và Marshmello thích
#4
Đã gửi 21-06-2019 - 02:47
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoanganh3001: 24-06-2019 - 04:06
#5
Đã gửi 21-06-2019 - 02:57
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh