Chủ đề này có 1 trả lời

[Tran Thanh Phuong]

Cho $a,b\in \mathbb{R}$. Tìm $m,n,x,y$ để :

$3a^2+4ab+2b^2=m(ax+by)^2+n(a-b)^2$

[Sin99]

VP = $ a^2.(mx^2 + n) + 2ab(mxy - n) + b^2.(my^2 + n) $ 

Đồng nhất hệ số ta có : 

$ mxy - n = 2 $ (1)

$mx^2 + n = 3$  (2)

$my^2 + n = 2 $ (3)

(1) + (2) : $ mx(x+y) = 5 $

(2)- (3) : $ m(x-y)(x+y) = 1 $

$ \Leftrightarrow  xm(x+y)(x-y) = x $ 

$ \Leftrightarrow  5(x-y) = x $ 

$ \Leftrightarrow  4x = 5y $ 

Thay $ y = \frac{4x}{5} $ vào (1) , ta được : 

$ m.\frac{4x^2}{5} - n =2 $ . Cộng với (2) , ta được: $ mx^2.\frac{9}{5} = 5$

$ \Rightarrow  mx^2 = \frac{25}{9} \Rightarrow  n = \frac{2}{9} $ 

Từ đó ta có $ m(ax + by)^2 = (\frac{5a}{3} + \frac{4b}{3})^2 $ 

Đồng nhất hệ số ta có $ m  = 1, x = \frac{5}{3}, y = {4}{3} $ 

Vậy $ m =1 , n = \frac{2}{9}, x =  \frac{5}{3}, y = {4}{3} $