Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tổng hợp các bất đẳng thức cần câu trả lời

bất đẳng thức chứng minh

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1 hanguyen225

hanguyen225

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-06-2019 - 13:32

1. Cho a,b>0, a+b=2. CMR: $ab\leq a^{a}b^{b}$

2. Cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=1.CMR:

a. $\frac{1}{3^{a}}+\frac{1}{3^{b}}+\frac{1}{3^{c}}\geq 3(\frac{a}{3^{a}}+\frac{b}{3^{b}}+\frac{c}{3^{c}})$

b. $\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{c+b}+\sqrt[3]{a+c}\leq \sqrt[3]{18}$

c. $(1+a)(1+b)(1+c)\geq 8(1-a)(1-b)(1-c)$

3. Cho a,b,c dương.CMR: $\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ac+a^2}\geq a+b+c$

4. Cho a,b,c dương thỏa mãn abc=1. CMR: 

a.$(a+\frac{1}{b}-1)(b+\frac{1}{c}-1)(c+\frac{1}{a}-1)\leq 1$

b. $a^{3}+b^{3}+c^{3} \geq a+b+c$

c. $a^{3}+b^{3}+c^{3} \geq $a^2+b^2+c^2


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanguyen225: 08-06-2019 - 14:30


#2 MrDat

MrDat

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 16 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hành tinh song song

Đã gửi 08-06-2019 - 14:07

Mình xí câu 3

Có $\sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}\doteq\sqrt{(a+b)^{2}-3ab}\geq \sqrt{(a+b)^{2}-\frac{3(a+b)^{2}}{4}}\doteq \sqrt{\frac{1}{4}(a+b)^{2}}\doteq \frac{1}{2}(a+b)$

Tương tự $\sqrt{b^2-bc+c^2}\geq \frac{1}{2}(b+c)$

                $\sqrt{c^2-ca+a^2}\geq \frac{1}{2}(c+a)$

 Cộng vế $\Rightarrow \sqrt{a^2-ab+b^2} + \sqrt{b^2-bc+c^2} + \sqrt{c^2-ca+a^2} \geq \frac{1}{2}(a+b+b+c+c+a)\doteq (a+b+c)$

      DPCM dấu "=" xảy ra khi a=b=c


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MrDat: 08-06-2019 - 21:45


#3 MrDat

MrDat

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 16 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hành tinh song song

Đã gửi 08-06-2019 - 14:12

Cho mình hỏi câu 2 a,b,c có dương không



#4 hanguyen225

hanguyen225

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 31 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-06-2019 - 14:30

Cho mình hỏi câu 2 a,b,c có dương không

có dương bạn ạ. Để mình sửa



#5 Bilun

Bilun

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

Đã gửi 08-06-2019 - 15:30

$\sum \sqrt[3]{a+b}=\sqrt[3]{\frac{9}{4}}\sum \sqrt[3]{\frac{2}{3}.\frac{2}{3}(a+b)}\leq \sqrt[3]{\frac{9}{4}}(\frac{a+b+4/3+b+c+4/3+c+a+4/3}{3})=\sqrt[3]{18}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bilun: 09-06-2019 - 19:59


#6 Bilun

Bilun

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

Đã gửi 08-06-2019 - 15:39

2c)$4(b+c)(c+a)\leq (a+b+2c)^2=(1+c)^2;4(a+b)(b+c)\leq (1+b)^2;4(c+a)(a+b)\leq (1+a)^2\Rightarrow 64((a+b)(b+c)(c+a))^2\leq ((1+a)(1+b)(1+c))^2\Rightarrow(1+a)(1+b)(1+c)\geq 8(a+b)(b+c)(c+a)=8(1-a)(1-b)(1-c)$



#7 Bilun

Bilun

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

Đã gửi 08-06-2019 - 16:22

$4b)a^3+2\geq 3a,b^3+2\geq 3b,c^3+2\geq 3c\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq a+b+c+2(a+b+c)-6;a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3\Rightarrow \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\geq a+b+c$

$4c)2a^3+2b^3+2c^3+3=(2a^3+1)+(2b^3+1)+(2c^3+1)\geq 3a^2+3b^2+3c^2;a^2+b^2+c^2\geqslant 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3\Rightarrow 2a^3+2b^3+2c^3\geq 2(a^2+b^2+c^2)\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq a^2+b^2+c^2$



#8 MrDat

MrDat

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 16 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hành tinh song song

Đã gửi 09-06-2019 - 09:42

 $2b)\sqrt[3]{a+b}=\sqrt[3]{\frac{3}{2}.\frac{2}{3}(a+b)}\leq\sqrt[3]{\frac{3}{2}}(\frac{a+b+2/3}{2});\sqrt[3]{b+c} \leq\sqrt[3]{\frac{3}{2}}(\frac{b+c+2/3}{2});\sqrt[3]{c+a}\leq\sqrt[3]{\frac{3}{2}}(\frac{c+a+2/3}{2})\Rightarrow \sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}\leq\sqrt[3]{\frac{3}{2}}(a+b+c+2)=\sqrt[3]{18}$. Dấu = xảy ra <=>  a=b=c=1/3

Bạn bilun ơi xem lại phần $\sqrt[3]{\frac{3}{2}.\frac{2}{3}(a+b)}\leq \sqrt[3]{\frac{3}{2}}\frac{(a++b+\frac{2}{3})}{2}$

 Mình biết bạn áp dụng $\sqrt{xy}\leq \frac{(x+y)}{2}$ nhưng đây là căn bậc ba bạn nhé, mong bạn xem lại.

 

.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MrDat: 09-06-2019 - 09:46


#9 Bilun

Bilun

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết

Đã gửi 09-06-2019 - 19:55

Cám ơn bạn đã nhắc để mình sửa lại



#10 Love is color primrose

Love is color primrose

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 71 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Học viện Ma thuật và Phép thuật Hogwarts
  • Sở thích:tất cả mọi thứ liên quan đến văn hóa Nhật Bản

Đã gửi 10-06-2019 - 16:33

4a)

Bình phương VT ta có:

$\sum (a+\frac{1}{b}-1)(b+\frac{1}{c}-1)=\sum (a+ac-1)(b+ba-abc)=\sum b(a+ac-1)(1+a-ac)=abc\sum (a^{2}-(ac-1)^{2})\leq abc.a^{2}.b^{2}.c^{2}=1$

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

P/s không chắc.


ayanamy -sama :wub:  :wub:  :wub: 


#11 Hoanganh3001

Hoanganh3001

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 17 Bài viết

Đã gửi 21-06-2019 - 02:17

Câu 1) lấy ln 2 vế ta cần chứng minh alna-a+blnb-b không âm. Rõ ràng f(a)=alna-a là hàm lồi với a dương do đó áp dụng bđt jense ta có điều pcm

#12 PDF

PDF

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-07-2019 - 21:16

Bài 4:

b)Ta chứng minh BĐT Holder: $(a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+a_{3}^{3})(b_{1}^{3}+b_{2}^{3}+b_3^{3})(c_{1}^{3}+c_{2}^{3}+c_{3}^{3})\geq (a_{1}b_{1}c_{1}+a_{2}b_{2}c_{2}+a_{3}b_{3}c_{3})^{3}$

Theo BĐT AM-GM : $\frac{a_{1}^{3}}{a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+a_{3}^{3}}+\frac{b_{1}^{3}}{b_{1}^{3}+b_{2}^{3}+b_{3}^{3}}+\frac{c_{1}^{3}}{c_{1}^{3}+c_{2}^{3}+c_{3}^{3}}\geq \frac{3a_{1}b_{1}c_{1}}{\sqrt[3]{VT}}$

Viết 2 BĐT tương tự rồi cộng từng vế ta có đpcm.

Áp dụng BĐT Holder :

$(1^{3}+1^{3}+1^{3})(1^{3}+1^{3}+1^{3})((a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq(a+b+c)^{3}$

Mà theo BĐT AM-GM : $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$ suy ra $(a+b+c)^{2}\geq 9$

Từ đó $9(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a+b+c)^{3}\geq 9(a+b+c)$ . Từ đây ta có đpcm.

c) Theo BĐT Holder và BĐT Cauchy-Schwarz : $(1^{3}+1^{3}+1^{3})(a^{3}+b^{3}+c^{3})(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}(a+b+c)^{2}}{3}\geq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$ . Từ đây ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 05-07-2019 - 21:28






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức, chứng minh

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh