Chủ đề này có 11 trả lời

[hanguyen225]

1. Cho a,b>0, a+b=2. CMR: $ab\leq a^{a}b^{b}$

2. Cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=1.CMR:

a. $\frac{1}{3^{a}}+\frac{1}{3^{b}}+\frac{1}{3^{c}}\geq 3(\frac{a}{3^{a}}+\frac{b}{3^{b}}+\frac{c}{3^{c}})$

b. $\sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{c+b}+\sqrt[3]{a+c}\leq \sqrt[3]{18}$

c. $(1+a)(1+b)(1+c)\geq 8(1-a)(1-b)(1-c)$

3. Cho a,b,c dương.CMR: $\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ac+a^2}\geq a+b+c$

4. Cho a,b,c dương thỏa mãn abc=1. CMR: 

a.$(a+\frac{1}{b}-1)(b+\frac{1}{c}-1)(c+\frac{1}{a}-1)\leq 1$

b. $a^{3}+b^{3}+c^{3} \geq a+b+c$

c. $a^{3}+b^{3}+c^{3} \geq $a^2+b^2+c^2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanguyen225: 08-06-2019 - 14:30

[MrDat]

Mình xí câu 3

Có $\sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}\doteq\sqrt{(a+b)^{2}-3ab}\geq \sqrt{(a+b)^{2}-\frac{3(a+b)^{2}}{4}}\doteq \sqrt{\frac{1}{4}(a+b)^{2}}\doteq \frac{1}{2}(a+b)$

Tương tự $\sqrt{b^2-bc+c^2}\geq \frac{1}{2}(b+c)$

                $\sqrt{c^2-ca+a^2}\geq \frac{1}{2}(c+a)$

 Cộng vế $\Rightarrow \sqrt{a^2-ab+b^2} + \sqrt{b^2-bc+c^2} + \sqrt{c^2-ca+a^2} \geq \frac{1}{2}(a+b+b+c+c+a)\doteq (a+b+c)$

      DPCM dấu "=" xảy ra khi a=b=c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MrDat: 08-06-2019 - 21:45

[MrDat]

Cho mình hỏi câu 2 a,b,c có dương không

[hanguyen225]

Cho mình hỏi câu 2 a,b,c có dương không

có dương bạn ạ. Để mình sửa

[Bilun]

$\sum \sqrt[3]{a+b}=\sqrt[3]{\frac{9}{4}}\sum \sqrt[3]{\frac{2}{3}.\frac{2}{3}(a+b)}\leq \sqrt[3]{\frac{9}{4}}(\frac{a+b+4/3+b+c+4/3+c+a+4/3}{3})=\sqrt[3]{18}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bilun: 09-06-2019 - 19:59

[Bilun]

2c)$4(b+c)(c+a)\leq (a+b+2c)^2=(1+c)^2;4(a+b)(b+c)\leq (1+b)^2;4(c+a)(a+b)\leq (1+a)^2\Rightarrow 64((a+b)(b+c)(c+a))^2\leq ((1+a)(1+b)(1+c))^2\Rightarrow(1+a)(1+b)(1+c)\geq 8(a+b)(b+c)(c+a)=8(1-a)(1-b)(1-c)$

[Bilun]

$4b)a^3+2\geq 3a,b^3+2\geq 3b,c^3+2\geq 3c\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq a+b+c+2(a+b+c)-6;a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3\Rightarrow \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\geq a+b+c$

$4c)2a^3+2b^3+2c^3+3=(2a^3+1)+(2b^3+1)+(2c^3+1)\geq 3a^2+3b^2+3c^2;a^2+b^2+c^2\geqslant 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3\Rightarrow 2a^3+2b^3+2c^3\geq 2(a^2+b^2+c^2)\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq a^2+b^2+c^2$

[MrDat]

 $2b)\sqrt[3]{a+b}=\sqrt[3]{\frac{3}{2}.\frac{2}{3}(a+b)}\leq\sqrt[3]{\frac{3}{2}}(\frac{a+b+2/3}{2});\sqrt[3]{b+c} \leq\sqrt[3]{\frac{3}{2}}(\frac{b+c+2/3}{2});\sqrt[3]{c+a}\leq\sqrt[3]{\frac{3}{2}}(\frac{c+a+2/3}{2})\Rightarrow \sqrt[3]{a+b}+\sqrt[3]{b+c}+\sqrt[3]{c+a}\leq\sqrt[3]{\frac{3}{2}}(a+b+c+2)=\sqrt[3]{18}$. Dấu = xảy ra <=>  a=b=c=1/3

Bạn bilun ơi xem lại phần $\sqrt[3]{\frac{3}{2}.\frac{2}{3}(a+b)}\leq \sqrt[3]{\frac{3}{2}}\frac{(a++b+\frac{2}{3})}{2}$

 Mình biết bạn áp dụng $\sqrt{xy}\leq \frac{(x+y)}{2}$ nhưng đây là căn bậc ba bạn nhé, mong bạn xem lại.

 

.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MrDat: 09-06-2019 - 09:46

[Bilun]

Cám ơn bạn đã nhắc để mình sửa lại

[Love is color primrose]

4a)

Bình phương VT ta có:

$\sum (a+\frac{1}{b}-1)(b+\frac{1}{c}-1)=\sum (a+ac-1)(b+ba-abc)=\sum b(a+ac-1)(1+a-ac)=abc\sum (a^{2}-(ac-1)^{2})\leq abc.a^{2}.b^{2}.c^{2}=1$

Dấu = xảy ra khi a=b=c=1

P/s không chắc.

[Hoanganh3001]

Câu 1) lấy ln 2 vế ta cần chứng minh alna-a+blnb-b không âm. Rõ ràng f(a)=alna-a là hàm lồi với a dương do đó áp dụng bđt jense ta có điều pcm

[PDF]

Bài 4:

b)Ta chứng minh BĐT Holder: $(a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+a_{3}^{3})(b_{1}^{3}+b_{2}^{3}+b_3^{3})(c_{1}^{3}+c_{2}^{3}+c_{3}^{3})\geq (a_{1}b_{1}c_{1}+a_{2}b_{2}c_{2}+a_{3}b_{3}c_{3})^{3}$

Theo BĐT AM-GM : $\frac{a_{1}^{3}}{a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+a_{3}^{3}}+\frac{b_{1}^{3}}{b_{1}^{3}+b_{2}^{3}+b_{3}^{3}}+\frac{c_{1}^{3}}{c_{1}^{3}+c_{2}^{3}+c_{3}^{3}}\geq \frac{3a_{1}b_{1}c_{1}}{\sqrt[3]{VT}}$

Viết 2 BĐT tương tự rồi cộng từng vế ta có đpcm.

Áp dụng BĐT Holder :

$(1^{3}+1^{3}+1^{3})(1^{3}+1^{3}+1^{3})((a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq(a+b+c)^{3}$

Mà theo BĐT AM-GM : $a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3$ suy ra $(a+b+c)^{2}\geq 9$

Từ đó $9(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a+b+c)^{3}\geq 9(a+b+c)$ . Từ đây ta có đpcm.

c) Theo BĐT Holder và BĐT Cauchy-Schwarz : $(1^{3}+1^{3}+1^{3})(a^{3}+b^{3}+c^{3})(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}\geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}(a+b+c)^{2}}{3}\geq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$ . Từ đây ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PDF: 05-07-2019 - 21:28