Cho $\left\{\begin{matrix}a,b,c\geq 0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\frac{a}{a^{2}+1}+\frac{b}{b^{2}+1}+\frac{c}{c^{2}+1}\leq \frac{9}{10}$
chứng minh bất đẳng thức
#1
Đã gửi 08-06-2019 - 15:42
#2
Đã gửi 08-06-2019 - 16:22
Ta đi chứng minh BĐT sau : $\frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{18}{25}a+\frac{3}{50}$ với $a\geq 0$.
Sau khi thu gọn thì bất đẳng thức trên tương đương với $(3a-1)^{2}(4a+3)\geq 0$ luôn đúng với mọi a không âm.
Làm tương tự với các BĐT còn lại rồi cộng lại ta được đpcm.
Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
- nhimtom yêu thích
______________ ______________
#3
Đã gửi 08-06-2019 - 17:01
Cảm ơn anh toanND anh giúp em bài này nữa ah
cho a, b, c>0 và ab + bc + cd = 3 CMR
$\frac{a}{2a^2+b^2-bc+4}+\frac{b}{2b^2+c^2-ac+4}+\frac{c}{2c^2+a^2-ac+4}\leq \frac{1}{6}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
Cảm ơn anh nhiều
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhimtom: 08-06-2019 - 17:07
- Sin99 yêu thích
#4
Đã gửi 08-06-2019 - 21:11
$ \frac{a}{2a^2+b^2-bc+4} = \frac{a}{2a^2 + b^2 + ac + ab +1 } = \frac{a}{a^2 +1 + a^2 + b^2 + ac + ab } \leq \frac{a}{2a+2ab+ac+ab} \leq \frac{1}{9}.(\frac{1}{2}+\frac{1}{2b}+ \frac{1}{b+c})\leq \frac{1}{9}.(\frac{1}{2}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{4}.(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})) = \frac{1}{12b}+ \frac{1}{36c} + \frac{1}{18}.$
Tương tự, suy ra VT $ \leq \frac{1}{9}.(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + \frac{3}{18}. $
Vậy ta cần chứng minh $ \frac{1}{9}.(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + \frac{3}{18} \leq \frac{1}{6}.(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) $ hay cần chứng minh $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 3 $
Thật vậy, ta có $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \sqrt{3(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac})} \geq \sqrt{3.(\frac{9}{ab+bc+ac})} = 3 $. Từ đó ta có dpcm
- nhimtom và Love is color primrose thích
#5
Đã gửi 08-06-2019 - 23:10
$ \frac{a}{2a+2ab+ac+ab} \leq \frac{1}{9}.(\frac{1}{2}+\frac{1}{2b}+ \frac{1}{b+c}).$
Bạn ơi cho mình hỏi tại sao lại nhận với 1/9
#6
Đã gửi 08-06-2019 - 23:24
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh