Đến nội dung

Hình ảnh

chứng minh bất đẳng thức


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
nhimtom

nhimtom

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

Cho $\left\{\begin{matrix}a,b,c\geq 0 & & \\ a+b+c=1 & & \end{matrix}\right.$. Cmr: $\frac{a}{a^{2}+1}+\frac{b}{b^{2}+1}+\frac{c}{c^{2}+1}\leq \frac{9}{10}$ 



#2
toanND

toanND

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

Ta đi chứng minh BĐT sau : $\frac{a}{a^{2}+1}\leq \frac{18}{25}a+\frac{3}{50}$ với $a\geq 0$.

Sau khi thu gọn thì bất đẳng thức trên tương đương với $(3a-1)^{2}(4a+3)\geq 0$ luôn đúng với mọi a không âm.

Làm tương tự với các BĐT còn lại rồi cộng lại ta được đpcm. 

Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$


______________ :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol: ______________

         


#3
nhimtom

nhimtom

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

Cảm ơn anh toanND anh giúp em bài này nữa ah

 

cho a, b, c>0 và ab + bc + cd = 3 CMR

 

 

$\frac{a}{2a^2+b^2-bc+4}+\frac{b}{2b^2+c^2-ac+4}+\frac{c}{2c^2+a^2-ac+4}\leq \frac{1}{6}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

 

 

 

 

Cảm ơn anh nhiều


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhimtom: 08-06-2019 - 17:07


#4
Sin99

Sin99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

$ \frac{a}{2a^2+b^2-bc+4} = \frac{a}{2a^2 + b^2 + ac + ab  +1 } = \frac{a}{a^2 +1 + a^2 + b^2 + ac + ab } \leq \frac{a}{2a+2ab+ac+ab} \leq \frac{1}{9}.(\frac{1}{2}+\frac{1}{2b}+ \frac{1}{b+c})\leq \frac{1}{9}.(\frac{1}{2}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{4}.(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})) = \frac{1}{12b}+ \frac{1}{36c} + \frac{1}{18}.$ 

Tương tự, suy ra VT $ \leq \frac{1}{9}.(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + \frac{3}{18}. $ 

Vậy ta cần chứng minh $ \frac{1}{9}.(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) + \frac{3}{18} \leq  \frac{1}{6}.(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) $ hay cần chứng minh $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 3 $

Thật vậy, ta có $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \sqrt{3(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac})} \geq \sqrt{3.(\frac{9}{ab+bc+ac})} = 3 $. Từ đó ta có dpcm 



#5
nhimtom

nhimtom

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

$ \frac{a}{2a+2ab+ac+ab} \leq \frac{1}{9}.(\frac{1}{2}+\frac{1}{2b}+ \frac{1}{b+c}).$ 

 

Bạn ơi cho mình hỏi tại sao lại nhận với 1/9

 



#6
Sin99

Sin99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

Áp dụng Cauchy–Schwarz thôi bạn 



#7
toanND

toanND

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

Cách a cũng giống 

Sin99

______________ :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol: ______________

         


#8
nhimtom

nhimtom

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết
Cảm ơn anh toanND và Sin99  ah




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh