Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cho x, y, z là các số dương


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 chcd

chcd

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 30 Bài viết

Đã gửi 09-06-2019 - 11:27

Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$, Chứng minh $\frac{x^{3}+y^{3}}{x+2y}+\frac{y^{3}+z^{3}}{y+2z}+\frac{z^{3}+x^{3}}{z+2x}\geq 2$



#2 toanND

toanND

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 34 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Du
  • Sở thích:bóng đá

Đã gửi 09-06-2019 - 16:08

Đặt $P=\sum \frac{x^{3}+y^{3}}{x+2y}$. Ta áp dụng BĐT AM-GM như sau:

$\frac{x^{3}}{x+2y}+\frac{x^{3}}{x+2y}+\frac{(x+2y)^{2}}{27}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^{6}(x+2y)^{2}}{27(x+2y)^{2}}}=x^{2}$

$\frac{y^{3}}{x+2y}+\frac{y^{3}}{x+2y}+\frac{(x+2y)^{2}}{27}\geq y^{2}$

Cộng vế theo vế hai BĐT trên $\Rightarrow \frac{2(x^{3}+y^{3})}{x+2y}+\frac{2}{27}(x+2y)^{2}\geq x^{2}+y^{2}$

Làm tương tự với các BĐT còn lại rồi cộng vế theo vế ta được:

$2P+\frac{2}{27}\sum (x+2y)^{2}\geq 2\sum x^{2}$

Khai triển, chuyển vế các thứ ta có $P\geq \frac{22}{9}-\frac{4}{27}(xy+yz+zx)\geq \frac{22}{9}-\frac{4}{27}(x^{2}+y^{2}+z^{2})=2$

Dấu = xảy ra khi x = y = z = 1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanND: 09-06-2019 - 16:09

______________ :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol: ______________

         


#3 toanhoc2017

toanhoc2017

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 537 Bài viết

Đã gửi 12-06-2019 - 21:42

Hay thật




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh