Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$, Chứng minh $\frac{x^{3}+y^{3}}{x+2y}+\frac{y^{3}+z^{3}}{y+2z}+\frac{z^{3}+x^{3}}{z+2x}\geq 2$
Cho x, y, z là các số dương
#1
Đã gửi 09-06-2019 - 11:27
#2
Đã gửi 09-06-2019 - 16:08
Đặt $P=\sum \frac{x^{3}+y^{3}}{x+2y}$. Ta áp dụng BĐT AM-GM như sau:
$\frac{x^{3}}{x+2y}+\frac{x^{3}}{x+2y}+\frac{(x+2y)^{2}}{27}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^{6}(x+2y)^{2}}{27(x+2y)^{2}}}=x^{2}$
$\frac{y^{3}}{x+2y}+\frac{y^{3}}{x+2y}+\frac{(x+2y)^{2}}{27}\geq y^{2}$
Cộng vế theo vế hai BĐT trên $\Rightarrow \frac{2(x^{3}+y^{3})}{x+2y}+\frac{2}{27}(x+2y)^{2}\geq x^{2}+y^{2}$
Làm tương tự với các BĐT còn lại rồi cộng vế theo vế ta được:
$2P+\frac{2}{27}\sum (x+2y)^{2}\geq 2\sum x^{2}$
Khai triển, chuyển vế các thứ ta có $P\geq \frac{22}{9}-\frac{4}{27}(xy+yz+zx)\geq \frac{22}{9}-\frac{4}{27}(x^{2}+y^{2}+z^{2})=2$
Dấu = xảy ra khi x = y = z = 1
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanND: 09-06-2019 - 16:09
- tritanngo99, nhimtom, Sin99 và 2 người khác yêu thích
______________ ______________
#3
Đã gửi 12-06-2019 - 21:42
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh