Chủ đề này có 2 trả lời

[chcd]

Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$, Chứng minh $\frac{x^{3}+y^{3}}{x+2y}+\frac{y^{3}+z^{3}}{y+2z}+\frac{z^{3}+x^{3}}{z+2x}\geq 2$

[toanND]

Đặt $P=\sum \frac{x^{3}+y^{3}}{x+2y}$. Ta áp dụng BĐT AM-GM như sau:

$\frac{x^{3}}{x+2y}+\frac{x^{3}}{x+2y}+\frac{(x+2y)^{2}}{27}\geq 3\sqrt[3]{\frac{x^{6}(x+2y)^{2}}{27(x+2y)^{2}}}=x^{2}$

$\frac{y^{3}}{x+2y}+\frac{y^{3}}{x+2y}+\frac{(x+2y)^{2}}{27}\geq y^{2}$

Cộng vế theo vế hai BĐT trên $\Rightarrow \frac{2(x^{3}+y^{3})}{x+2y}+\frac{2}{27}(x+2y)^{2}\geq x^{2}+y^{2}$

Làm tương tự với các BĐT còn lại rồi cộng vế theo vế ta được:

$2P+\frac{2}{27}\sum (x+2y)^{2}\geq 2\sum x^{2}$

Khai triển, chuyển vế các thứ ta có $P\geq \frac{22}{9}-\frac{4}{27}(xy+yz+zx)\geq \frac{22}{9}-\frac{4}{27}(x^{2}+y^{2}+z^{2})=2$

Dấu = xảy ra khi x = y = z = 1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanND: 09-06-2019 - 16:09

[toanhoc2017]

Hay thật