Chủ đề này có 1 trả lời

[chcd]

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{\sqrt{a^{2}b^{2}+a^{2}+b^{2}+1}}{\sqrt{1+c^{2}}}+\frac{\sqrt{b^{2}c^{2}+b^{2}+c^{2}+1}}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{\sqrt{c^{2}a^{2}+c^{2}+a^{2}+1}}{\sqrt{1+b^{2}}}$

[toanND]

Đầu tiên ta có đẳng thức: $a^{2}+1=a^{2}+ab+bc+ca=(a+b)(a+c)$

Tương tự: $b^{2}+1=(b+c)(b+a), c^{2}+1=(c+a)(c+b)$

Ta có $P=\sum \sqrt{\frac{(b^{2}+1)(a^{2}+1)}{c^{2}+1}}=\sum \sqrt{\frac{(b+c)(b+a)(a+b)(a+c)}{(c+a)(c+b)}}=\sum (a+b)=2(a+b+c)$

$\Rightarrow P\geq 2\sqrt{3(ab+bc+ca)}=2\sqrt{3}$

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Vậy $minP=2\sqrt{3}$ khi $a=b=c=\frac{\sqrt{3}}{3}$