Cho ba số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\geqslant 2\left ( \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \right )-3$
p/s: Trích đề tuyển sinh lớp 10 chuyên Đồng Nai 2019. Pls Help and thanks
Cho ba số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\geqslant 2\left ( \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \right )-3$
p/s: Trích đề tuyển sinh lớp 10 chuyên Đồng Nai 2019. Pls Help and thanks
Đặt $\frac{a}{b}=x; \frac{b}{c}=y; \frac{c}{a}=z$ với $x;y;z>0; xyz=1$
Ta có BĐT cần chứng minh tương đương với $x^2+y^2+z^2 \geq 2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})-3<=>x^2+y^2+z^2 \geq 2(xy+yz+zx)-3<=>(x+y+z)^2\geq4(xy+yz+zx)-3(1)$
Đặt $x+y+z=p;xy+yz+zx=q;xyz=r=1$ ta có
$(1)$ trở thành: $p^2\geq4q-3<=>p^2-4q+3\geq0<=> p^3-4pq+3p\geq 0$ vì $p=x+y+z > 0$
Mà$p=x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}=3$ nên $p^3-4pq+9\geq 0<=> p^3-4pq+9r\geq 0$ (Đúng vì đây là BĐT Schur)
$=>$đpcm
Dấu "$=$" xảy ra $<=> a=b=c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WaduPunch: 13-06-2019 - 20:50
$$\because\,x^{\,2}+ y^{\,2}+ z^{\,2}+ 2\,xyz+ 1- 2(\,xy+ yz+ zx\,)\geqq 0$$
$\lceil$ https://diendantoanh...e-1#entry721862 $\rfloor$
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh