Chứng minh
$x,\,y,\,z> 0$
$$\therefore\,\frac{1}{2}\geqq (\,x+ y- z\,)\left ( \frac{3}{x+ y}- \frac{1}{y+ z}- \frac{1}{z+ x} \right )$$
Trên trang cá nhân của Nguyenhuyen_AG $\lceil$ https://nguyenhuyena...ang-thuc-ky-la/ $\rfloor$ (đây là phân tích $\lceil$ S O S $\rfloor$ ngắn nhất với mẫu thức có dạng $k(\,x+ y\,)(\,y+ z\,)(\,z+ x\,)$ với $k= constant$.)
Thấy rằng
với bất đẳng thức
$$k\geqq \sqrt{\frac{A_{\,1}}{B_{\,1}}}+ \sqrt{\frac{A_{\,2}}{B_{\,2}}}+ \sqrt{\frac{A_{\,3}}{B_{\,3}}}$$
Sử dụng $\lceil$ C S $\rfloor$ ta được
$$(\,W_{\,1}+ W_{\,2}+ W_{\,3}\,)\left ( W_{\,1}\times \frac{A_{\,1}}{B_{\,1}}+ W_{\,2}\times \frac{A_{\,2}}{B_{\,2}}+ W_{\,3}\times \frac{A_{\,3}}{B_{\,3}} \right )\geqq \left ( \sum\,\sqrt{\frac{A_{\,1}}{B_{\,1}}} \right )^{\,2}$$
Ta cần chứng minh
$$k^{\,2}\geqq (\,W_{\,1}+ W_{\,2}+ W_{\,3}\,)\left ( W_{\,1}\times \frac{A_{\,1}}{B_{\,1}}+ W_{\,2}\times \frac{A_{\,2}}{B_{\,2}}+ W_{\,3}\times \frac{A_{\,3}}{B_{\,3}} \right )$$
Bất đẳng thức đã cho
$$\frac{1}{2}\geqq (\,x+ y- z\,)\left ( \frac{3}{x+ y}- \frac{1}{y+ z}- \frac{1}{z+ x} \right )$$
$$\because\,1\geqq \left ( 3(\,x+ y\,)- (\,y+ z\,)- (\,z+ x\,) \right )\left ( \frac{9}{3(\,x+ y\,)}- \frac{1}{y+ z}- \frac{1}{z+ x} \right )$$
$$\because\,1\geqq \sqrt{9}- 1- 1$$
Có một trong hai bất đẳng thức vô lý, vậy có tồn tại hay không bất đẳng thức $\lceil$ C S $\rfloor$ trên tập $\mathbb{R}$?