Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$\left [ \sum \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)^2}{a^2+ab+b^2} \right ]+\frac{2(ab+bc+ca)}{243abc}$

bất đẳng thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 toihoctoan

toihoctoan

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 6 Bài viết

Đã gửi 13-06-2019 - 21:54

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$A=\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)^2}{a^2+ab+b^2}+\frac{(b+c)(b^2-bc+c^2)^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{(c+a)(c^2-ca+a^2)^2}{c^2+ca+a^2}+\frac{2(ab+bc+ca)}{243abc}$

với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: $\frac{abc}{ab+bc+ca}\geq \frac{1}{9}$.

 



#2 phongmaths

phongmaths

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 58 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hóa
  • Sở thích:xem anime, làm toán, chơi game, đọc sách

Đã gửi 19-06-2019 - 14:58

Ta có  $a^2-ab+b^2\geq \frac{1}{3}(a^2+ab+b^2)$ 

Đặt $B=\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)^2}{a^2+ab+b^2}+\frac{(b+c)(b^2-bc+c^2)^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{(c+a)(c^2-ca+a^2)^2}{c^2+ca+a^2}$

$\Rightarrow B=\sum \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)^2}{a^2+ab+b^2} \geq \sum \frac{\frac{1}{3}(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2)}{a^2+ab+b^2}=\frac{1}{3}(\sum (a+b)(a^2-ab+b^2))=\frac{1}{3}(\sum a^3+b^3)=\frac{2}{3}(a^3+b^3+c^3)$

Mà do $\frac{abc}{ab+bc+ca}\geq \frac{1}{9} \Rightarrow 9abc\geq ab+bc+ca \Rightarrow ab+bc+ca \leq 9\sqrt{(\frac{ab+bc+ca}{3})^3} \Rightarrow ab+bc+ca \geq \frac{1}{3}$ 

áp dụng BĐT AM-GM ta có $a^3+b^3+c^3 \geq 3abc\geq \frac{abc}{ab+bc+ca}$

$\Rightarrow B\geq \frac{2}{3}\frac{abc}{ab+bc+ca}$

$\Rightarrow A\geq \frac{2}{3}\frac{abc}{ab+bc+ca}+\frac{2(ab+bc+ca)}{243abc}=\frac{2}{243}(\frac{81abc}{ab+bc+ca}+\frac{(ab+bc+ca)}{abc})\geq \frac{2}{243}.2\sqrt{\frac{81abc}{ab+bc+ca}.\frac{(ab+bc+ca)}{abc}}=\frac{4}{27}$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh