Đến nội dung

Hình ảnh

bất đẳng thức


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 28 trả lời

#21
Sin99

Sin99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

Câu 5. $ BDT \Leftrightarrow  (\frac{1}{4-a} -\frac{1}{4} ) +   (\frac{1}{4-b} -\frac{1}{4} ) +   (\frac{1}{4-c } -\frac{1}{4} ) \geq \frac{a^2+b^2+c^2}{16} $ 

$ \Leftrightarrow   \frac{a}{4(4-a)} +  \frac{b}{4(4-b)} + \frac{c}{4(4-c)} \geq \frac{a^2+b^2+c^2}{16} $ 

Ta có: $   \frac{a}{4(4-a)}  + \frac{a(4-a)}{16} \geq \frac{a}{4} $ 

Tương tự, ta có: $  \frac{a}{4(4-a)} +  \frac{b}{4(4-b)} + \frac{c}{4(4-c)} \geq  \frac{a}{4} +  \frac{b}{4} +  \frac{c}{4} - (  \frac{a(4-a)}{16} +  \frac{b(4-b)}{16} +  \frac{c(4-c)}{16} ) $ 

$ \Rightarrow  \frac{a}{4(4-a)} +  \frac{b}{4(4-b)} + \frac{c}{4(4-c)} \geq  \frac{a}{4} +  \frac{b}{4} +  \frac{c}{4}  - (  \frac{a}{4} +  \frac{b}{4} +  \frac{c}{4}  -\frac{a^2+b^2+c^2}{16} )  $ 

$  \Rightarrow   \frac{a}{4(4-a)} +  \frac{b}{4(4-b)} + \frac{c}{4(4-c)} \geq \frac{a^2+b^2+c^2}{16} $ 

$\Rightarrow $ ĐPCM


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 17-06-2019 - 20:31


#22
Gammaths11

Gammaths11

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

$2a^{2}+b^{2}+3=(a^{2}+b^{2})+\left ( a^{2}+1 \right )+2\geq 2ab+2a+2$

$VT\leq \frac{1}{\sqrt{2a+2ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{2b+2bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{2c+2ac+2}}$

$\RightarrowVT^{2}\leq 3\left ( \frac{1}{2a+2ab+2}+\frac{1}{2b+2bc+2}+\frac{1}{2c+2ac+2} \right )\leq \frac{3}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gammaths11: 17-06-2019 - 20:47


#23
Sin99

Sin99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

Câu 4

Trước hết ta chứng minh bổ đề: Cho $a,b,c > 0 $ thỏa $ abc \geq 1 $, $ \frac{1}{ab+a+1} +  \frac{1}{bc+b+1} +  \frac{1}{ac+c+1} \leq 1 $ 

Thật vậy ta có: $ VT =   \frac{1}{ab+a+1} + \frac{a}{abc+ab+a} + \frac{ab}{a^2bc+abc+ab} \leq   \frac{1}{ab+a+1} + \frac{a}{1+ab+a} + \frac{ab}{1+a+ab} = \frac{a+ab+1}{a+ab+1} = 1 \Rightarrow  ĐPCM $ 

Trở lại bài toán, ta có: $ \frac{1}{\sqrt{2a^2+b^2+3}} \leq \frac{1}{\sqrt{2ab+2a+2}} $ 

Tương tự, cộng theo vế, ta được: $ P \leq \frac{1}{\sqrt{2}}  (\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ac+c+1}}) $ 

Mặt khác, $ \frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ac+c+1}} = \sqrt{3}.(\frac{1}{\sqrt{3(ab+a+1)}}+\frac{1}{\sqrt{3(bc+b+1)}}+\frac{1}{\sqrt{3(ac+c+1)}} ) \leq \sqrt{3}. [ \frac{1}{2}. ( \frac{1}{3} + \frac{1}{ab+a+1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{bc+b+1} +\frac{1}{3} + \frac{1}{ac+c+1} ) ] = \frac{\sqrt{3}}{2}. ( 1 +   \frac{1}{ab+a+1} +  \frac{1}{bc+b+1} + \frac{1}{ac+c+1} ) \leq  \frac{\sqrt{3}}{2}.(1+1) = \sqrt{3} $ 

Vậy $ P \leq \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $ 



#24
Gammaths11

Gammaths11

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

câu 5: cm bđt sau bằng phương pháp tương đương là ra :

 $\frac{1}{4-a}\geq \frac{a^{2}+4}{16}$

$\Leftrightarrow \frac{a(a-2)^{2}}{16(4-a)}\geq 0$ đúng

dấu "=" khi a=b=c=2



#25
nhimtom

nhimtom

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

Bài 1 Cho a, b, c dương và a + b + c = 3, chứng minh rằng

 

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\geqslant \frac{10}{3}$

 

Bài 2 Cho a, b, c dương và a^2 + b^2 + c^2 = 3, chứng minh rằng

 

$\frac{a^3}{3a+2b^3}+\frac{b^3}{3b+2c^3}+\frac{c^3}{3c+2a^3}\geqslant \frac{3}{5}$

 

Bài 3 chứng minh rằng với mọi a,b,c dương ta đều có 

 

$\frac{a}{\sqrt{b^2(c+a)^2}}+\frac{b}{\sqrt{a^2(b+a)^2}}+\frac{c}{\sqrt{c^2(c+b)^2}}\leq \frac{3}{\sqrt{5}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhimtom: 19-06-2019 - 17:38


#26
Sin99

Sin99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

Bài 1: Đặt  biểu thực là P.

$ P \geq \frac{1}{ab} +  \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}  + \frac{1}{a^2+b^2+c^2} = \frac{1}{3ab} + \frac{1}{3bc}+\frac{1}{3ac} + \frac{1}{a^2+b^2+c^2} + \frac{2}{3}.(\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc}+ \frac{1}{ac} ) \geq \frac{16}{a^2+b^2+c^2+3ab+3bc+3ac} + \frac{2}{3}.\frac{9}{ab+bc+ac} \geq \frac{16}{(a+b+c)^2+\frac{(a+b+c)^2}{3}} + \frac{2}{3}.\frac{9}{\frac{(a+b+c)^2}{3}} = \frac{16}{9 + 3 } + \frac{2}{3}.\frac{9}{3} = \frac{10}{3} $ 



#27
Sin99

Sin99

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 238 Bài viết

Câu 2. Em có thể tham khảo tại đây. 

https://artofproblem...8_hard_question



#28
Gammaths11

Gammaths11

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

câu 3 bạn có ghi sai đề ko vậy



#29
Pewnoy

Pewnoy

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

giúp mình với 

cho a,b,c>0 CMR

$\sqrt{\frac{b+c}{a}} + \sqrt{\frac{a+c}{b}} + \sqrt{\frac{a+b}{c}} \geq \frac{3}{2}.\sqrt{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}$






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh