Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

bất đẳng thức


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 28 trả lời

#1 nhimtom

nhimtom

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 14-06-2019 - 00:16

Các anh chị giúp em bài này với ah

Bài 1. cho a, b,d, d >0 và a + b + c + d = 1

 

a, Tìm min $P=(\frac{1}{a}+1)(\frac{1}{b}+1)(\frac{1}{c}+1)(\frac{1}{d}+1)$ 

 

b. Tìm max $Q=\frac{a(1-a)}{a^2+b^2+c^2+d^2}$

 

Bài 2 Cho 2019 số dương x1, x2.........x2019 tìm min:

 

$P=\frac{3x^2_{1}+x^2_{2}+...+x^2_{2019}}{x_{1}(x_{2}+x_{3}+...+x_{2019})}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhimtom: 14-06-2019 - 00:29


#2 toanND

toanND

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 45 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Du
  • Sở thích:bóng đá

Đã gửi 14-06-2019 - 08:50

BÀI 1

a. Áp dụng BĐT Holder ta có: $P=(\frac{1}{a}+1)(\frac{1}{b}+1)(\frac{1}{c}+1)(\frac{1}{d}+1)\geq (\sqrt[4]{\frac{1}{abcd}}+1)^{4}$

Mặt khác theo BĐT AM-GM: $\sqrt[4]{abcd}\leq \frac{a+b+c+d}{4}=\frac{1}{4}$

$\Rightarrow P\geq(4+1)^{4}=625$

Vậy $minP=625$ khi $a=b=c=d= \frac{1}{4}$

b. Ta có $Q=\frac{a(b+c+d)}{\frac{a^{2}}{3}+b^{2}+\frac{a^{2}}{3}+c^{2}+\frac{a^{2}}{3}+d^{2}}\leq\frac{a(b+c+d)}{\frac{2}{\sqrt{3}}(ab+ac+ad)}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Vậy $maxQ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ khi ..........

BÀI 2. Ý tưởng cũng giống bài 1b thôi e  :closedeyes:


______________ :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol: ______________

         


#3 nhimtom

nhimtom

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 14-06-2019 - 09:01

BÀI 1.
a. Áp dụng BĐT Holder ta có: $P=(\frac{1}{a}+1)(\frac{1}{b}+1)(\frac{1}{c}+1)(\frac{1}{d}+1)\geq (\sqrt[4]{\frac{1}{abcd}}+1)^{4}$
Mặt khác theo BĐT AM-GM: $\sqrt[4]{abcd}\leq \frac{a+b+c+d}{4}=\frac{1}{4}$
$\Rightarrow P\geq(4+1)^{4}=625$
Vậy $minP=625$ khi $a=b=c=d= \frac{1}{4}$
b. Ta có $Q=\frac{a(b+c+d)}{\frac{a^{2}}{3}+b^{2}+\frac{a^{2}}{3}+c^{2}+\frac{a^{2}}{3}+d^{2}}\leq\frac{a(b+c+d)}{\frac{2}{\sqrt{3}}(ab+ac+ad)}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Vậy $maxQ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ khi ..........
BÀI 2. Ý tưởng cũng giống bài 1b thôi e :closedeyes:



#4 nhimtom

nhimtom

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 14-06-2019 - 09:04

Em cảm ơn anh toannd, bài 1 câu a anh có thể giải bằng cauchy dc k ah

#5 toanND

toanND

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 45 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Du
  • Sở thích:bóng đá

Đã gửi 14-06-2019 - 13:22

Em cảm ơn anh toannd, bài 1 câu a anh có thể giải bằng cauchy dc k ah

Có thể dùng AM - GM (Cauchy) kiểu này : $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq\frac{4}{a+b}; \frac{1}{ab}\geq\frac{4}{(a+b)^2}$

Áp dụng hai BĐT trên, ta biến đổi biểu thức P như sau:

$P=(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab})(1+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{cd})\geq[1+\frac{4}{a+b}+\frac{4}{(a+b)^2}][1+\frac{4}{c+d}+\frac{4}{(c+d)^2}]=[(\frac{2}{a+b}+1)(\frac{2}{c+d}+1)] ^2 ]$

Đặt $A=[(\frac{2}{a+b}+1)(\frac{2}{c+d}+1)]^2$

$\Rightarrow A=[\frac{4}{(a+b)(c+d)}+\frac{2}{a+b}+\frac{2}{c+d}+1]^2\geq[\frac{16}{(a+b+c+d)^2}+\frac{8}{a+b+c+d}+1]^2=625$

$\Rightarrow P\geq A\geq625$  ~O)


______________ :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol: ______________

         


#6 nhimtom

nhimtom

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 14-06-2019 - 15:05

Ngưỡng mộ anh toanND quá, anh chỉ cho em cách học giỏi bđt với ạ!!

#7 toanND

toanND

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 45 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Du
  • Sở thích:bóng đá

Đã gửi 14-06-2019 - 16:37

Ngưỡng mộ anh toanND quá, anh chỉ cho em cách học giỏi bđt với ạ

Kiếm sách với tài liệu mà đọc thôi e :ukliam2:


______________ :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol: ______________

         


#8 nhimtom

nhimtom

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 16-06-2019 - 21:31

Anh giúp em mấy bài này nữa với ah, em mới học Cauchy, Schwar và Bunhia

 

Bài 1. cho a,b, c dương và a + b +c =3 CMR 

$(a^2+\frac{5}{b})^2+(b^2+\frac{5}{c})^2+(c^2+\frac{5}{a})^2\geqslant 108$

Bài 2. $(b+c)\sqrt{3a+bc}+(c+a)\sqrt{3b+ca}+(a+b)\sqrt{3c+ab}\geq 4(ab+bc+ca)$

Bài 3. CMR với mọi a,b,c dương ta đều có

$(a^2+b)(b^2+c)(c^2+a)\geqslant abc(a+1)(b+1)(c+1)$

Bài 4. cho a,b, c dương và 3a^2+4b^2+4bc+4c^2 <= 15 Tìm min, max của a+b+c



#9 Sin99

Sin99

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 172 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:= favourite

Đã gửi 16-06-2019 - 21:48

Mình xin phép đóng góp :D

Bài 1: VT $ \geq \frac{(a^2+b^2+c^2+\frac{5}{a} +\frac{5}{b}+\frac{5}{c})^2}{3} \geq \frac{(\frac{(a+b+c)^2}{3}+\frac{5.9}{a+b+c})^2}{3} = 108 = $ VP

Dấu "=" khi $ a=b=c=1$ 


"Kẻ bi quan luôn nhìn thấy sự khó khăn trong mỗi cơ hội; người lạc quan luôn nhìn thấy các cơ hội trong mọi khó khăn."

                                                               Nicholas Murray ~


#10 Sin99

Sin99

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 172 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:= favourite

Đã gửi 16-06-2019 - 21:53

Bài 2: Có điều kiện a+b+c = 3 không bạn ? 


"Kẻ bi quan luôn nhìn thấy sự khó khăn trong mỗi cơ hội; người lạc quan luôn nhìn thấy các cơ hội trong mọi khó khăn."

                                                               Nicholas Murray ~


#11 toanND

toanND

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 45 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Du
  • Sở thích:bóng đá

Đã gửi 16-06-2019 - 22:23

BÀI 3. Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có $(a^2+b)(1+\frac{1}{b})\geq(a+1)^2$

Tương tự với các BĐT còn lại rồi nhân lại ta có $(a^2+b)(b^2+c)(c^2+a)\frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}\geq(a+1)^2(b+1)^2(c+1)^2$

$\Leftrightarrow (a^2+b)(b^2+c)(c^2+a)\geq abc(a+1)(b+1)(c+1)$

Dấu = xảy ra khi a =b =c 


______________ :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol: ______________

         


#12 Sin99

Sin99

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 172 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:= favourite

Đã gửi 16-06-2019 - 22:32

Bài 2. Nếu có a+b+c = 3

Ta có: $3a+bc = a(a+b+c)+bc = (a+b)(a+c) $.

Tương tự, từ đó có VT = :

$ (b+c)\sqrt{(a+b)(a+c)} + (a+c)\sqrt{(b+c)(b+a)}+(a+b)\sqrt{(c+a)(c+b)} \geq (b+c)(a+\sqrt{bc})+(a+c)(b+\sqrt{ac})+(a+b)(c+\sqrt{ab}) = 2(ab+bc+ac) + (b+c)\sqrt{bc}+ (a+c)\sqrt{ac}+(a+b)\sqrt{ab} \geq 2(ab+bc+ca)+2(ab+bc+ac)= 4(ab+bc+ac) $ 

Dấu "=" $ a=b=c =1 $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 16-06-2019 - 22:36

"Kẻ bi quan luôn nhìn thấy sự khó khăn trong mỗi cơ hội; người lạc quan luôn nhìn thấy các cơ hội trong mọi khó khăn."

                                                               Nicholas Murray ~


#13 nhimtom

nhimtom

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 16-06-2019 - 22:52

Bài 2: Có điều kiện a+b+c = 3 không bạn ? 

Cảm ơn sin99, em gõ thiếu: cho a, b, c dương và  a+b+c = 3 



#14 nhimtom

nhimtom

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 17-06-2019 - 10:48

Giúp em bài 4 này nữa ah

 

Bài 4.  Tìm min, max của a+b+c thỏa mãn  $3a^{2}+4b^{2}+4bc+4c^{2}\leqslant 15$



#15 toanND

toanND

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 45 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Du
  • Sở thích:bóng đá

Đã gửi 17-06-2019 - 12:51

Áp dụng BĐT $b^2+bc+c^2\geq\frac{3}{4}(b+c)^2$

Ta có $15\geq3a^2+4(b^2+bc+c^2)\geq3[a^2+(b+c)^2]\geq\frac{3}{2}(a+b+c)^2$

$\Rightarrow (a+b+c)^2\leq10\Rightarrow-\sqrt{10}\leq a+b+c\leq \sqrt{10}$

Từ đó ta có min , max

e tự tìm dấu = nhé


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toanND: 17-06-2019 - 13:28

______________ :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :lol: ______________

         


#16 nhimtom

nhimtom

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 17-06-2019 - 17:46

Bài 1 cho a,b là 2 số thực dương thỏa mãn ab=1 chứng minh rằng

$\frac{a^3}{1+b^2}+\frac{b^3}{1+a^2}\geqslant 1$

 

Bài 2 CMR với mọi a, b,c >0 thì 

$1+\sqrt[3]{abc}\leqslant \sqrt[3]{(1+a)(1+b)(1+c)}$

 

Bài 3 cho a, b,c >0 thỏa mãn $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}= 3$ tìm max P

 

$P=\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ac+a^2}}$

 

 

Bài 4. cho a,b,c dương và abc>=1 tìm max P

$P=\frac{1}{\sqrt{2a^2+b^2+3}}+\frac{1}{\sqrt{2b^2+c^2+3}}+\frac{1}{\sqrt{2c^2+a^2+3}}$

 

Baif5. cho a,b,c là 3 số thực dương và a,b,c <4 CMR

$\frac{1}{4-a}+\frac{1}{4-b}+\frac{1}{4-c}\geq \frac{3}{4}+\frac{a^2+b^2+c^2}{16}$



#17 Sin99

Sin99

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 172 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:= favourite

Đã gửi 17-06-2019 - 19:50

Câu 1: VT = $ \frac{a^3}{ab+b^2} + \frac{b^3}{1+a^2} = \frac{a^3}{b(a+b)} + \frac{b^3}{a(b+a)} $ 

Ta có: $ \frac{b^3}{a(a+b)} + \frac{b}{2} + \frac{(a+b)}{4} \geq \frac{3a}{2} $

$ \Rightarrow  $ $   \frac{b^3}{a(a+b)} \geq \frac{3a}{2} - (  \frac{b}{2} + \frac{(a+b)}{4} )  $

Tương tự :  $ \frac{a^3}{b(a+b)} \geq \frac{3b}{2} - (  \frac{a}{2} + \frac{(a+b)}{4}  ) $ 

Cộng theo vế, ta được:  $ VT  \geq \frac{3(a+b)}{2} - (a+b) = \frac{(a+b)}{2} \geq 1 $ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 17-06-2019 - 19:53

"Kẻ bi quan luôn nhìn thấy sự khó khăn trong mỗi cơ hội; người lạc quan luôn nhìn thấy các cơ hội trong mọi khó khăn."

                                                               Nicholas Murray ~


#18 Sin99

Sin99

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 172 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:= favourite

Đã gửi 17-06-2019 - 19:57

Bài 2: BDT $ \Leftrightarrow  1 + 3\sqrt[3]{abc} + 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} + abc \leq (1+a)(1+b)(1+c) $ 

Ta có: $ VP = (1+a)(1+b)(1+c) = 1+ ab+bc+ac + a+b+c + abc \geq 1 + 3\sqrt[3]{abc} + 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} +abc = VT $ 

Suy ra BDT ban đầu đúng. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 17-06-2019 - 19:58

"Kẻ bi quan luôn nhìn thấy sự khó khăn trong mỗi cơ hội; người lạc quan luôn nhìn thấy các cơ hội trong mọi khó khăn."

                                                               Nicholas Murray ~


#19 Sin99

Sin99

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 172 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:= favourite

Đã gửi 17-06-2019 - 20:06

Câu 3. 

Ta có: $ \frac{1}{\sqrt{a^2-2ab+b^2+ab}} = \frac{1}{\sqrt{(a-b)^2+ab}} \leq \frac{1}{\sqrt{ab}} \leq \frac{1}{2} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) $

Tương tự, cộng theo vế ta có: $ VT \leq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} $

Mặt khác $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \leq \sqrt{3(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2})}  = 3 $

Vậy $ P \leq 3 $ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 17-06-2019 - 20:08

"Kẻ bi quan luôn nhìn thấy sự khó khăn trong mỗi cơ hội; người lạc quan luôn nhìn thấy các cơ hội trong mọi khó khăn."

                                                               Nicholas Murray ~


#20 nhimtom

nhimtom

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 17-06-2019 - 20:29

Cảm ơn Sin99 nhiều , giúp em nốt bài 4 và bài 5 với ah

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh