Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

bất đẳng thức


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 28 trả lời

#21 Sin99

Sin99

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 165 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:= favourite

Đã gửi 17-06-2019 - 20:30

Câu 5. $ BDT \Leftrightarrow  (\frac{1}{4-a} -\frac{1}{4} ) +   (\frac{1}{4-b} -\frac{1}{4} ) +   (\frac{1}{4-c } -\frac{1}{4} ) \geq \frac{a^2+b^2+c^2}{16} $ 

$ \Leftrightarrow   \frac{a}{4(4-a)} +  \frac{b}{4(4-b)} + \frac{c}{4(4-c)} \geq \frac{a^2+b^2+c^2}{16} $ 

Ta có: $   \frac{a}{4(4-a)}  + \frac{a(4-a)}{16} \geq \frac{a}{4} $ 

Tương tự, ta có: $  \frac{a}{4(4-a)} +  \frac{b}{4(4-b)} + \frac{c}{4(4-c)} \geq  \frac{a}{4} +  \frac{b}{4} +  \frac{c}{4} - (  \frac{a(4-a)}{16} +  \frac{b(4-b)}{16} +  \frac{c(4-c)}{16} ) $ 

$ \Rightarrow  \frac{a}{4(4-a)} +  \frac{b}{4(4-b)} + \frac{c}{4(4-c)} \geq  \frac{a}{4} +  \frac{b}{4} +  \frac{c}{4}  - (  \frac{a}{4} +  \frac{b}{4} +  \frac{c}{4}  -\frac{a^2+b^2+c^2}{16} )  $ 

$  \Rightarrow   \frac{a}{4(4-a)} +  \frac{b}{4(4-b)} + \frac{c}{4(4-c)} \geq \frac{a^2+b^2+c^2}{16} $ 

$\Rightarrow $ ĐPCM


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sin99: 17-06-2019 - 20:31

"Kẻ bi quan luôn nhìn thấy sự khó khăn trong mỗi cơ hội; người lạc quan luôn nhìn thấy các cơ hội trong mọi khó khăn."

                                                               Nicholas Murray ~


#22 Gammaths11

Gammaths11

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 46 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-06-2019 - 20:45

$2a^{2}+b^{2}+3=(a^{2}+b^{2})+\left ( a^{2}+1 \right )+2\geq 2ab+2a+2$

$VT\leq \frac{1}{\sqrt{2a+2ab+2}}+\frac{1}{\sqrt{2b+2bc+2}}+\frac{1}{\sqrt{2c+2ac+2}}$

$\RightarrowVT^{2}\leq 3\left ( \frac{1}{2a+2ab+2}+\frac{1}{2b+2bc+2}+\frac{1}{2c+2ac+2} \right )\leq \frac{3}{2}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gammaths11: 17-06-2019 - 20:47


#23 Sin99

Sin99

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 165 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:= favourite

Đã gửi 17-06-2019 - 20:49

Câu 4

Trước hết ta chứng minh bổ đề: Cho $a,b,c > 0 $ thỏa $ abc \geq 1 $, $ \frac{1}{ab+a+1} +  \frac{1}{bc+b+1} +  \frac{1}{ac+c+1} \leq 1 $ 

Thật vậy ta có: $ VT =   \frac{1}{ab+a+1} + \frac{a}{abc+ab+a} + \frac{ab}{a^2bc+abc+ab} \leq   \frac{1}{ab+a+1} + \frac{a}{1+ab+a} + \frac{ab}{1+a+ab} = \frac{a+ab+1}{a+ab+1} = 1 \Rightarrow  ĐPCM $ 

Trở lại bài toán, ta có: $ \frac{1}{\sqrt{2a^2+b^2+3}} \leq \frac{1}{\sqrt{2ab+2a+2}} $ 

Tương tự, cộng theo vế, ta được: $ P \leq \frac{1}{\sqrt{2}}  (\frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ac+c+1}}) $ 

Mặt khác, $ \frac{1}{\sqrt{ab+a+1}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+1}}+\frac{1}{\sqrt{ac+c+1}} = \sqrt{3}.(\frac{1}{\sqrt{3(ab+a+1)}}+\frac{1}{\sqrt{3(bc+b+1)}}+\frac{1}{\sqrt{3(ac+c+1)}} ) \leq \sqrt{3}. [ \frac{1}{2}. ( \frac{1}{3} + \frac{1}{ab+a+1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{bc+b+1} +\frac{1}{3} + \frac{1}{ac+c+1} ) ] = \frac{\sqrt{3}}{2}. ( 1 +   \frac{1}{ab+a+1} +  \frac{1}{bc+b+1} + \frac{1}{ac+c+1} ) \leq  \frac{\sqrt{3}}{2}.(1+1) = \sqrt{3} $ 

Vậy $ P \leq \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} $ 


"Kẻ bi quan luôn nhìn thấy sự khó khăn trong mỗi cơ hội; người lạc quan luôn nhìn thấy các cơ hội trong mọi khó khăn."

                                                               Nicholas Murray ~


#24 Gammaths11

Gammaths11

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 46 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 17-06-2019 - 21:00

câu 5: cm bđt sau bằng phương pháp tương đương là ra :

 $\frac{1}{4-a}\geq \frac{a^{2}+4}{16}$

$\Leftrightarrow \frac{a(a-2)^{2}}{16(4-a)}\geq 0$ đúng

dấu "=" khi a=b=c=2



#25 nhimtom

nhimtom

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 19-06-2019 - 17:30

Bài 1 Cho a, b, c dương và a + b + c = 3, chứng minh rằng

 

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\geqslant \frac{10}{3}$

 

Bài 2 Cho a, b, c dương và a^2 + b^2 + c^2 = 3, chứng minh rằng

 

$\frac{a^3}{3a+2b^3}+\frac{b^3}{3b+2c^3}+\frac{c^3}{3c+2a^3}\geqslant \frac{3}{5}$

 

Bài 3 chứng minh rằng với mọi a,b,c dương ta đều có 

 

$\frac{a}{\sqrt{b^2(c+a)^2}}+\frac{b}{\sqrt{a^2(b+a)^2}}+\frac{c}{\sqrt{c^2(c+b)^2}}\leq \frac{3}{\sqrt{5}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhimtom: 19-06-2019 - 17:38


#26 Sin99

Sin99

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 165 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:= favourite

Đã gửi 19-06-2019 - 20:56

Bài 1: Đặt  biểu thực là P.

$ P \geq \frac{1}{ab} +  \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}  + \frac{1}{a^2+b^2+c^2} = \frac{1}{3ab} + \frac{1}{3bc}+\frac{1}{3ac} + \frac{1}{a^2+b^2+c^2} + \frac{2}{3}.(\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc}+ \frac{1}{ac} ) \geq \frac{16}{a^2+b^2+c^2+3ab+3bc+3ac} + \frac{2}{3}.\frac{9}{ab+bc+ac} \geq \frac{16}{(a+b+c)^2+\frac{(a+b+c)^2}{3}} + \frac{2}{3}.\frac{9}{\frac{(a+b+c)^2}{3}} = \frac{16}{9 + 3 } + \frac{2}{3}.\frac{9}{3} = \frac{10}{3} $ 


"Kẻ bi quan luôn nhìn thấy sự khó khăn trong mỗi cơ hội; người lạc quan luôn nhìn thấy các cơ hội trong mọi khó khăn."

                                                               Nicholas Murray ~


#27 Sin99

Sin99

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 165 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TPHCM
  • Sở thích:= favourite

Đã gửi 21-06-2019 - 00:31

Câu 2. Em có thể tham khảo tại đây. 

https://artofproblem...8_hard_question


"Kẻ bi quan luôn nhìn thấy sự khó khăn trong mỗi cơ hội; người lạc quan luôn nhìn thấy các cơ hội trong mọi khó khăn."

                                                               Nicholas Murray ~


#28 Gammaths11

Gammaths11

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 46 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-06-2019 - 16:21

câu 3 bạn có ghi sai đề ko vậy



#29 Pewnoy

Pewnoy

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 03-07-2019 - 23:25

giúp mình với 

cho a,b,c>0 CMR

$\sqrt{\frac{b+c}{a}} + \sqrt{\frac{a+c}{b}} + \sqrt{\frac{a+b}{c}} \geq \frac{3}{2}.\sqrt{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh